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Forum "Integration" - Uneigtl.Stellen u. Konvergenz

Uneigtl.Stellen u. Konvergenz < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

Ansicht:

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Uneigtl.Stellen u. Konvergenz: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:18 Fr 05.04.2013
Autor:	Thomas_Aut

Hallo,

Ich betrachte folgendes Beispiel:

Man gebe die Uneigentlichkeitsstellen des nachstehenden Integrals an( falls diese existieren) und untersuche es auf Konvergens

[mm]\integral_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\Pi}{2}}{\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)} dx}[/mm]

Man erkennt die Integrationsgrenzen schlecht so heißen von -Pi/2 bis Pi/2

Behauptung 1:

Es sind sowohl [mm]\frac{-\Pi}{2}[/mm] als auch [mm]\frac{\Pi}{2}[/mm]
Uneigentlichkeitsstellen

ich will dazu [mm] \limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm] [mm]\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)[/mm] betrachten (Äquivalent natürlich für - Pi/2 )

[mm] \limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm] [mm]\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)[/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm] [mm]\frac{Sin(x)}{\frac{Sin^{2}(x)*Cos^{2}(x)}{Cos^{2}(x)}+3*Cos^{3}(x)}[/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm] [mm]\frac{Tan(x)}{Sin^{2}(x)+3*Cos^{2}(x)}[/mm] = [mm]\frac{\infty}{1}[/mm] [mm]\rightarrow\nexists[/mm] bzw. existiert nicht als eigentlicher Grenzwert.

Anmerkung: Regel von l'Hospital hier nicht anzuwenden da nicht eine entsprechende Form wie etwa "0/0" vorliegend ist.

Conclusio: +/- Pi/2 sind Uneigentlichkeitsstellen.

Behauptung 2: Das Integral ist nicht konvergent

[mm]\integral_{0}^{\frac{\Pi}{2}}{\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)} dx}[/mm] | subst. [mm]Tan^{2}(x)=u[/mm] somit dx = [mm]\frac{du}{2Tan^{2}(x)*(1+u)}|[/mm] wir erhalten also das Integral der Form : [mm]\frac{1}{2}*\integral_{0}^{\infty}{\frac{1}{u+3} du}[/mm]

Das dieses Integral divergent ist sollte klar sein oder würdet ihr das noch weiter ausführen?

Es wäre natürlich gleich im Intervall -Pi/2 bis 0 aufgrund der Symm. der Funktionen.

LG Thomas

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Uneigtl.Stellen u. Konvergenz: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:46 Fr 05.04.2013
Autor:	steppenhahn

Hallo,

> Man gebe die Uneigentlichkeitsstellen des nachstehenden
> Integrals an( falls diese existieren) und untersuche es auf
> Konvergens

>
> [mm]\integral_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\Pi}{2}}{\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)} dx}[/mm]

>
> Man erkennt die Integrationsgrenzen schlecht so heißen von
> -Pi/2 bis Pi/2

>
> Behauptung 1:

>
> Es sind sowohl [mm]\frac{-\Pi}{2}[/mm] als auch [mm]\frac{\Pi}{2}[/mm]
> Uneigentlichkeitsstellen

Genau, die Nullstellen vom Kosinus. Der andere Faktor im Nenner kann nicht Null werden, weil [mm]\tan^2(x) + 3 \ge 3[/mm].

> ich will dazu [mm]\limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm]
> [mm]\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)[/mm] betrachten
> (Äquivalent natürlich für - Pi/2 )

>
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm]
> [mm]\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm]
> [mm]\frac{Sin(x)}{\frac{Sin^{2}(x)*Cos^{\red{2}}(x)}{Cos^{2}(x)}+3*Cos^{3}(x)}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm]
> [mm]%5Cfrac%7BTan(x)%7D%7BSin%5E%7B2%7D(x)%2B3*Cos%5E%7B2%7D(x)%7D[/mm] = [mm]\frac{\infty}{1}[/mm]
> [mm]\rightarrow\nexists[/mm] bzw. existiert nicht als eigentlicher
> Grenzwert.

Richtig.
Du hast im mittleren Schritt (siehe ROT) eine 2 statt einer 3 stehen, sonst alles OK.

> Anmerkung: Regel von l'Hospital hier nicht anzuwenden da
> nicht eine entsprechende Form wie etwa "0/0" vorliegend
> ist.

Ja. Die Regel ist hier auch gar nicht nötig.

> Conclusio: +/- Pi/2 sind Uneigentlichkeitsstellen.

> Behauptung 2: Das Integral ist nicht konvergent

>
>
> [mm]\integral_{0}^{\frac{\Pi}{2}}{\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)} dx}[/mm]
> | subst. [mm]Tan^{2}(x)=u[/mm] somit dx =
> [mm]\frac{du}{2Tan^{2}(x)*(1+u)}|[/mm] wir erhalten also das
> Integral der Form :
> [mm]\frac{1}{2}*\integral_{0}^{\infty}{\frac{1}{u+3} du}[/mm]

Ja, das ist richtig.

> Das dieses Integral divergent ist sollte klar sein oder
> würdet ihr das noch weiter ausführen?

Es ist ausreichend offensichtlich. Andererseits kannst du ja noch schnell "= [mm] $\log(u+3)|_{0}^{\infty} [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] " hinzufügen

> Es wäre natürlich gleich im Intervall -Pi/2 bis 0
> aufgrund der Symm. der Funktionen.

Richtig (Punktsymmetrie um Koordinatenursprung).
Mit Sicherheit ist das Integral von 0 bis pi/2 divergent, und auch das gesamte Integral von -pi/2 bis pi/2 (siehe

diese Def.).
Man kann aber trotzdem einen Wert zuordnen. Der

Cauchysche Hauptwert des Integrals ist 0.

Viele Grüße,
Stefan

Bezug

Uneigtl.Stellen u. Konvergenz: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	19:53 Fr 05.04.2013
Autor:	Thomas_Aut

Vielen Dank für deine Rückmeldung!

Ja da hast du natürlich recht da ist mir ein kleiner Rechenfehler unterlaufen beim umformen bzw ein Tippfehler!

LG und nochmals danke

Thomas> Hallo,
>
>
>
> > Man gebe die Uneigentlichkeitsstellen des nachstehenden
>  > Integrals an( falls diese existieren) und untersuche es

> auf
>  > Konvergens

>  >
>  >

> [mm]\integral_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\Pi}{2}}{\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)} dx}[/mm]
>
> >
>  > Man erkennt die Integrationsgrenzen schlecht so heißen

> von
>  > -Pi/2 bis Pi/2

>  >
>  > Behauptung 1:

>  >
>  > Es sind sowohl [mm]\frac{-\Pi}{2}[/mm] als auch [mm]\frac{\Pi}{2}[/mm]

>  > Uneigentlichkeitsstellen

>
>
>
> Genau, die Nullstellen vom Kosinus. Der andere Faktor im
> Nenner kann nicht Null werden, weil [mm]\tan^2(x) + 3 \ge 3[/mm].
>
>
>
> > ich will dazu [mm]\limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm]
>  > [mm]\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)[/mm] betrachten

>  > (Äquivalent natürlich für - Pi/2 )

>  >
>  >
>  >
>  > [mm]\limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm]

>  > [mm]\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)[/mm] =

>  > [mm]\limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm]

>  >

> [mm]\frac{Sin(x)}{\frac{Sin^{2}(x)*Cos^{\red{2}}(x)}{Cos^{2}(x)}+3*Cos^{3}(x)}[/mm]
>  > = [mm]\limes_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}}[/mm]

>  >

> [mm]%5Cfrac%7BTan(x)%7D%7BSin%5E%7B2%7D(x)%2B3*Cos%5E%7B2%7D(x)%7D[/mm]
> = [mm]\frac{\infty}{1}[/mm]
>  > [mm]\rightarrow\nexists[/mm] bzw. existiert nicht als

> eigentlicher
>  > Grenzwert.

>
>
> Richtig.
>  Du hast im mittleren Schritt (siehe ROT) eine 2 statt
> einer 3 stehen, sonst alles OK.
>
>
>
> > Anmerkung: Regel von l'Hospital hier nicht anzuwenden da
>  > nicht eine entsprechende Form wie etwa "0/0" vorliegend

>  > ist.

>
>
> Ja. Die Regel ist hier auch gar nicht nötig.
>
>
> > Conclusio: +/- Pi/2 sind Uneigentlichkeitsstellen.
>
>
>

>
>
> > Behauptung 2: Das Integral ist nicht konvergent
>  >
>  >
>  >

> [mm]\integral_{0}^{\frac{\Pi}{2}}{\frac{Sin(x)}{(Tan^{2}(x)+3)*Cos^{3}(x)} dx}[/mm]
>
> > | subst. [mm]Tan^{2}(x)=u[/mm] somit dx =
>  > [mm]\frac{du}{2Tan^{2}(x)*(1+u)}|[/mm] wir erhalten also das

>  > Integral der Form :

>  > [mm]\frac{1}{2}*\integral_{0}^{\infty}{\frac{1}{u+3} du}[/mm]

>
>
>
> Ja, das ist richtig.
>
>
> > Das dieses Integral divergent ist sollte klar sein oder
>  > würdet ihr das noch weiter ausführen?

>
>
> Es ist ausreichend offensichtlich. Andererseits kannst du
> ja noch schnell "= [mm]\log(u+3)|_{0}^{\infty} = \infty[/mm] "
> hinzufügen
>
>
> > Es wäre natürlich gleich im Intervall -Pi/2 bis 0
>  > aufgrund der Symm. der Funktionen.

>
>
> Richtig (Punktsymmetrie um Koordinatenursprung).
>  Mit Sicherheit ist das Integral von 0 bis pi/2 divergent,
> und auch das gesamte Integral von -pi/2 bis pi/2
> (siehe

diese Def.).
>
> Man kann aber trotzdem einen Wert zuordnen. Der
>

Cauchysche Hauptwert
> des Integrals ist 0.
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan

Vielen Dank für deine Rückmeldung!

Ja da hast du natürlich recht da ist mir ein kleiner Rechenfehler unterlaufen beim umformen bzw ein Tippfehler!

LG und nochmals danke

Thomas

Bezug

Ansicht:

[ geschachtelt ]

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