Uneigentliches/Riemann Integra < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] Riemann integrierbar impliziert, dass f:(a,b] [mm] \to \IR [/mm] uneigentlich integrierbar ist. |
Guten Tag!
Meine Aufgabe ist es, die obige Implikation zu beweisen. Könntet ihr mir bitte einen Denkanstoß hinsichtlich des Beweises geben?
Ich danke Euch!
Beste Grüße
mathe_thommy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Di 15.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] Riemann integrierbar
> impliziert, dass f:(a,b] [mm]\to \IR[/mm] uneigentlich integrierbar
> ist.
> Guten Tag!
>
> Meine Aufgabe ist es, die obige Implikation zu beweisen.
> Könntet ihr mir bitte einen Denkanstoß hinsichtlich des
> Beweises geben?
Ist f:[a,b] $ [mm] \to \IR [/mm] $ Riemann integrierbar, so definiere F:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] durch
[mm] F(x):=\integral_{x}^{b}{f(t) dt}.
[/mm]
Der Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung besagt, dass F stetig ist.
Hilft das ?
FRED
> Ich danke Euch!
>
> Beste Grüße
> mathe_thommy
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo Fred!
Besten Dank für den Tipp. Ich definiere also eine Funktion F(x) als Stammfunktion von f(x). Ich weiß, dass F eine Stammfunktion von f ist, falls F in allen Punkten des Definitionsbereiches von f (also auf IR) differenzierbar ist. Kann ich darüber argumentieren oder ist das die komplett falsche Richtung?
Falls nicht, wäre ich Ihnen für einen weiteren Tipp sehr dankbar.
Beste Grüße
mathe_thommy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Di 15.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
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> Besten Dank für den Tipp. Ich definiere also eine Funktion
> F(x) als Stammfunktion von f(x).
Nein ! Ist f "nur" Riemann- integrierbar, so ist F zwar stetig auf [a,b], aber F muss auf [a,b] nicht differenzierbar sein !
Ist f stetig auf [a,b], so ist F auf [a,b] differenzierbar und
$F'(x)=-f(x)$.
Beachte, dass $ [mm] F(x):=\integral_{x}^{b}{f(t) dt}$ [/mm] (x ist die untere(!) Integrationsgrenze !).
Nun ist f aber nicht als stetig vorausgesetzt, also können wir das mit der Stammfunktion vergessen. Wie gesagt: F ist stetig. Danit haben wir
[mm] \limes_{x \rightarrow a} \integral_{x}^{b}{f(t) dt}= \limes_{x \rightarrow a} F(x)=F(a)=\integral_{a}^{b}{f(t) dt}.
[/mm]
Der Grenzwert [mm] \limes_{x \rightarrow a} \integral_{x}^{b}{f(t) dt} [/mm] existiert also.
FRED
> Ich weiß, dass F eine
> Stammfunktion von f ist, falls F in allen Punkten des
> Definitionsbereiches von f (also auf IR) differenzierbar
> ist. Kann ich darüber argumentieren oder ist das die
> komplett falsche Richtung?
> Falls nicht, wäre ich Ihnen für einen weiteren Tipp sehr
> dankbar.
>
> Beste Grüße
> mathe_thommy
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Ich danke Ihnen vielmals!
Die Argumentation ist mir völlig klar und nachvollziehbar - ich wäre nur nicht selbst darauf gekommen.
Nochmals: Dankeschön für Ihre Bemühungen!
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