Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mo 25.01.2010 | | Autor: | MichaelH |
| Aufgabe | Bestätigen Sie:
[mm] \int_{0}^{\infty} e^{-st}\ [/mm] * [mm] cos\phi [/mm] *t, dt = [mm] \bruch{s}{s^2 + \phi^2} [/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hier nun mein Ansatz:
Ich schreibe [mm] cos\phi [/mm] *t durch die Eulersche Formel in:
[mm] \bruch{1}{2}\ [/mm] * [mm] \left( e^{ix}+e^{-ix} \right)
[/mm]
Nun fange ich etwas an zu spielen und forme den Term nach und nach um, bis ich folgendes stehen habe:
[mm] \bruch{e^{i*\phi*t}*e^{-st}*e^{i\phi*t}+e^{-st}}{2*e^{i\phi*t}}
[/mm]
Nun komme ich aber echt nicht mehr weiter, ich weiß auch nicht, ob das so überhaupt wirklichen Sinn hat, aber das war das, was ich mit zwei Kommilitonen so rumgespielt habe, ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir helfen könntet! :)
P.S. das [mm] \phi [/mm] war in unserer Aufgabe als klein Omega gestellt, sollte aber keinen Unterschied machen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Mo 25.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestätigen Sie:
> [mm]\integral_{0}^{\infty} e^{-st} *\cos\phi *t dt = \bruch{s}{s^2 + \phi^2}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hier nun mein Ansatz:
> Ich schreibe [mm]cos\phi *t[/mm] durch die Eulersche Formel in:
> [mm]\bruch{1}{2}*\left( e^{ix}+e^{-ix} \right)[/mm]
> Nun fange
> ich etwas an zu spielen und forme den Term nach und nach
> um, bis ich folgendes stehen habe:
>
> [mm]\bruch{e^{i*\phi*t}*e^{-st}*e^{i\phi*t}+e^{-st}}{2*e^{i\phi*t}}[/mm]
>
> Nun komme ich aber echt nicht mehr weiter, ich weiß auch
> nicht, ob das so überhaupt wirklichen Sinn hat, aber das
> war das, was ich mit zwei Kommilitonen so rumgespielt habe,
> ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir helfen
> könntet! :)
Ja, das kannst du so machen, allerdings in der Form
[mm]\bruch{e^{i*\phi*t}*e^{-st}*e^{i\phi*t}+e^{-st}}{2*e^{i\phi*t}} = \bruch{1}{2} e^{i*\phi*t}*e^{-st} + \bruch{1}{2} e^{-i*\phi*t}*e^{-st} = \bruch{1}{2} e^{i*\phi*t-st} + \bruch{1}{2} e^{-i*\phi*t-st} [/mm],
und dann nur noch die e-Funktion integrieren.
Eine andere Möglichkeit ist es, zweimal partiell zu integrieren. Dabei entsteht rechts ein Ausdruck, der das Ausgangsintegral enthält, sodass du danach auflösen kannst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Mo 25.01.2010 | | Autor: | MichaelH |
Okay, an dieser Stelle erstmal vielen Dank für die schnelle Hilfestellung, dennoch bleibt mir eine Frage.
Da wir die Integration von komplexen Zahlen noch nicht gemacht haben (bin 1. Semester) kann ich das Integral von deinem letzten Ausdruck glaub gar nicht berechnen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mo 25.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Okay, an dieser Stelle erstmal vielen Dank für die
> schnelle Hilfestellung, dennoch bleibt mir eine Frage.
> Da wir die Integration von komplexen Zahlen noch nicht
> gemacht haben (bin 1. Semester) kann ich das Integral von
> deinem letzten Ausdruck glaub gar nicht berechnen, oder?
Stimmt, das kannst du nur formal, indem du ignorierst, dass eine komplexe Zahl im Exponenten steht und einfach die Regel für die Integration einer Exponentialfunktion anwendest.
Dann musst du doch zweimal partiell integrieren. Tipp: Integriere jeweils die Exponentialfunktion und leite die Winkelfunktion ab!
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Mo 25.01.2010 | | Autor: | MichaelH |
Alles klar, vielen Dank!
Für meine erste Frage hier in diesem Board bin ich äußerst zufrieden, so stelle ich mir eine gute mathematische Zusammenarbeit vor!
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