Uneigentliches Integral < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 So 17.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Schar der Funktionen [mm] f_{k}:x\mapsto \bruch{x}{k+x^{2}} [/mm] mit k [mm] \in \IR^{+} [/mm] und der Definitionsmenge [mm] \IR.Der [/mm] Graph von [mm] f_{k} [/mm] wird mit [mm] G_{k} [/mm] bezeichnet.
a) Für jedes k begrenzt [mm] G_{k} [/mm] mit der x-Achse im I. Quadranten ein
Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass
dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt. |
Hallo^^
Ich habe einige Probleme bei dieser Aufgabe.
Also ich muss doch folgendes Integral berechnen:
[mm] \integral_{0}^{m}{\bruch{x}{k+x^{2}} dx}=\integral_{0}^{m}{x*\bruch{1}{k+x^{2}} dx}
[/mm]
Dann habe ich hier die Produktintegration angewandt und komme zum Schluss auf [mm] [\bruch{x^{2}}{2*(k+x^{2})}](in [/mm] den Grenzen von m bis 0) [mm] -[\bruch{x^{3}}{k+x^{2}}](in [/mm] den Grenzen von m bis 0)
Wenn ich die Grenzen einsetze,komme ich auf [mm] \bruch{m^{2}}{2*(k+m^{2})}-\bruch{m^{3}}{k+m^{2}}
[/mm]
hier hab ich den Hospital angewandt und komme zum Schluss auf 0.5-1.5m.
Stimmt das denn so?
lg
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Hi, Mandy,
> Gegeben ist die Schar der Funktionen [mm]f_{k}:x\mapsto \bruch{x}{k+x^{2}}[/mm]
> mit k [mm]\in \IR^{+}[/mm] und der Definitionsmenge [mm]\IR.Der[/mm] Graph
> von [mm]f_{k}[/mm] wird mit [mm]G_{k}[/mm] bezeichnet.
>
> a) Für jedes k begrenzt [mm]G_{k}[/mm] mit der x-Achse im I.
> Quadranten ein
> Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen
> Sie, dass
> dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt.
> Ich habe einige Probleme bei dieser Aufgabe.
> Also ich muss doch folgendes Integral berechnen:
>
> [mm]\integral_{0}^{m}{\bruch{x}{k+x^{2}} dx}=\integral_{0}^{m}{x*\bruch{1}{k+x^{2}} dx}[/mm]
>
> Dann habe ich hier die Produktintegration
Hier funktioniert die Substitution besser!
Zudem gibt es in diesem Fall eine "fertige Formel":
[mm] \integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx} [/mm] = ln|f(x)| + c
Demnach kannst Du als Stammfunktion [mm] \bruch{1}{2}*ln(k+x^{2}) [/mm] verwenden!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi, Mandy,
>
> > Gegeben ist die Schar der Funktionen [mm]f_{k}:x\mapsto \bruch{x}{k+x^{2}}[/mm]
> > mit k [mm]\in \IR^{+}[/mm] und der Definitionsmenge [mm]\IR.Der[/mm] Graph
> > von [mm]f_{k}[/mm] wird mit [mm]G_{k}[/mm] bezeichnet.
> >
> > a) Für jedes k begrenzt [mm]G_{k}[/mm] mit der x-Achse im I.
> > Quadranten ein
> > Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt.
> Zeigen
> > Sie, dass
> > dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt.
>
> > Ich habe einige Probleme bei dieser Aufgabe.
> > Also ich muss doch folgendes Integral berechnen:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{m}{\bruch{x}{k+x^{2}} dx}=\integral_{0}^{m}{x*\bruch{1}{k+x^{2}} dx}[/mm]
>
> >
> > Dann habe ich hier die Produktintegration
>
> Hier funktioniert die Substitution besser!
> Zudem gibt es in diesem Fall eine "fertige Formel":
> [mm]\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}[/mm] = ln|f(x)| + c
Ja an die Regel hatte ich auch schon gedacht,aber die Ableitung vom Nenner ist doch 2x und im Zähler steht nur x...?
> Demnach kannst Du als Stammfunktion
> [mm]\bruch{1}{2}*ln(k+x^{2})[/mm] verwenden!
Wie kommst du da drauf,bzw. woher hast du die 0.5 geholt?
lg
> mfG!
> Zwerglein
>
>
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> > Hi, Mandy,
> >
> > > Gegeben ist die Schar der Funktionen [mm]f_{k}:x\mapsto \bruch{x}{k+x^{2}}[/mm]
> > > mit k [mm]\in \IR^{+}[/mm] und der Definitionsmenge [mm]\IR.Der[/mm] Graph
> > > von [mm]f_{k}[/mm] wird mit [mm]G_{k}[/mm] bezeichnet.
> > >
> > > a) Für jedes k begrenzt [mm]G_{k}[/mm] mit der x-Achse im I.
> > > Quadranten ein
> > > Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt.
> > Zeigen
> > > Sie, dass
> > > dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt
> besitzt.
> >
> > > Ich habe einige Probleme bei dieser Aufgabe.
> > > Also ich muss doch folgendes Integral berechnen:
> > >
> > > [mm]\integral_{0}^{m}{\bruch{x}{k+x^{2}} dx}=\integral_{0}^{m}{x*\bruch{1}{k+x^{2}} dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Dann habe ich hier die Produktintegration
> >
> > Hier funktioniert die Substitution besser!
> > Zudem gibt es in diesem Fall eine "fertige Formel":
> > [mm]\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}[/mm] = ln|f(x)| + c
>
> Ja an die Regel hatte ich auch schon gedacht,aber die
> Ableitung vom Nenner ist doch 2x und im Zähler steht nur
> x...?
>
> > Demnach kannst Du als Stammfunktion
> > [mm]\bruch{1}{2}*ln(k+x^{2})[/mm] verwenden!
>
> Wie kommst du da drauf,bzw. woher hast du die 0.5 geholt?
>
> lg
>
> > mfG!
> > Zwerglein
> >
> >
>
du kannst doch aus x => 0.5*(2x) machen.. die 0,5 dann vorziehen, weil konstant, und dann ist dein zähler die ableitung des nenners!
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Do 21.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > Hi, Mandy,
> > >
> > > > Gegeben ist die Schar der Funktionen [mm]f_{k}:x\mapsto \bruch{x}{k+x^{2}}[/mm]
> > > > mit k [mm]\in \IR^{+}[/mm] und der Definitionsmenge [mm]\IR.Der[/mm] Graph
> > > > von [mm]f_{k}[/mm] wird mit [mm]G_{k}[/mm] bezeichnet.
> > > >
> > > > a) Für jedes k begrenzt [mm]G_{k}[/mm] mit der x-Achse im I.
> > > > Quadranten ein
> > > > Flächenstück, das sich ins Unendliche
> erstreckt.
> > > Zeigen
> > > > Sie, dass
> > > > dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt
> > besitzt.
> > >
> > > > Ich habe einige Probleme bei dieser Aufgabe.
> > > > Also ich muss doch folgendes Integral berechnen:
> > > >
> > > > [mm]\integral_{0}^{m}{\bruch{x}{k+x^{2}} dx}=\integral_{0}^{m}{x*\bruch{1}{k+x^{2}} dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Dann habe ich hier die Produktintegration
> > >
> > > Hier funktioniert die Substitution besser!
> > > Zudem gibt es in diesem Fall eine "fertige Formel":
> > > [mm]\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}[/mm] = ln|f(x)| + c
> >
> > Ja an die Regel hatte ich auch schon gedacht,aber die
> > Ableitung vom Nenner ist doch 2x und im Zähler steht nur
> > x...?
> >
> > > Demnach kannst Du als Stammfunktion
> > > [mm]\bruch{1}{2}*ln(k+x^{2})[/mm] verwenden!
> >
> > Wie kommst du da drauf,bzw. woher hast du die 0.5 geholt?
> >
> > lg
> >
> > > mfG!
> > > Zwerglein
> > >
> > >
> >
> du kannst doch aus x => 0.5*(2x) machen.. die 0,5 dann
> vorziehen, weil konstant, und dann ist dein zähler die
> ableitung des nenners!
Ok,dann hab ich also folgendes Integral: [mm] \integral_{0}^{m}{\bruch{x}{k+x^{2}} dx}=\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k+x^{2})
[/mm]
wenn ich die Grenzen einsetze hab ich: [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}ln(k+m^{2})-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k),
[/mm]
aber wie kann ich denn hieraus begründen,dass dieser Inhalt undendlich ist ?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > > Hi, Mandy,
> > > >
> > > > > Gegeben ist die Schar der Funktionen [mm]f_{k}:x\mapsto \bruch{x}{k+x^{2}}[/mm]
> > > > > mit k [mm]\in \IR^{+}[/mm] und der Definitionsmenge [mm]\IR.Der[/mm] Graph
> > > > > von [mm]f_{k}[/mm] wird mit [mm]G_{k}[/mm] bezeichnet.
> > > > >
> > > > > a) Für jedes k begrenzt [mm]G_{k}[/mm] mit der x-Achse im I.
> > > > > Quadranten ein
> > > > > Flächenstück, das sich ins Unendliche
> > erstreckt.
> > > > Zeigen
> > > > > Sie, dass
> > > > > dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt
> > > besitzt.
> > > >
> > > > > Ich habe einige Probleme bei dieser Aufgabe.
> > > > > Also ich muss doch folgendes Integral
> berechnen:
> > > > >
> > > > > [mm]\integral_{0}^{m}{\bruch{x}{k+x^{2}} dx}=\integral_{0}^{m}{x*\bruch{1}{k+x^{2}} dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Dann habe ich hier die Produktintegration
> > > >
> > > > Hier funktioniert die Substitution besser!
> > > > Zudem gibt es in diesem Fall eine "fertige
> Formel":
> > > > [mm]\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}[/mm] = ln|f(x)| + c
> > >
> > > Ja an die Regel hatte ich auch schon gedacht,aber die
> > > Ableitung vom Nenner ist doch 2x und im Zähler steht nur
> > > x...?
> > >
> > > > Demnach kannst Du als Stammfunktion
> > > > [mm]\bruch{1}{2}*ln(k+x^{2})[/mm] verwenden!
> > >
> > > Wie kommst du da drauf,bzw. woher hast du die 0.5 geholt?
> > >
> > > lg
> > >
> > > > mfG!
> > > > Zwerglein
> > > >
> > > >
> > >
> > du kannst doch aus x => 0.5*(2x) machen.. die 0,5 dann
> > vorziehen, weil konstant, und dann ist dein zähler die
> > ableitung des nenners!
>
>
> Ok,dann hab ich also folgendes Integral:
> [mm]\integral_{0}^{m}{\bruch{x}{k+x^{2}} dx}=\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k+x^{2})[/mm]
>
> wenn ich die Grenzen einsetze hab ich:
> [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k+m^{2})-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k),[/mm]
> aber wie kann ich denn hieraus begründen,dass dieser
> Inhalt undendlich ist ?
Was treibt denn [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k+m^{2})-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k),[/mm] für m [mm] \to \infty [/mm] ?
FRED
>
> lg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Do 21.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Ok,dann hab ich also folgendes Integral:
> > [mm]\integral_{0}^{m}{\bruch{x}{k+x^{2}} dx}=\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k+x^{2})[/mm]
>
> >
> > wenn ich die Grenzen einsetze hab ich:
> > [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k+m^{2})-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k),[/mm]
> > aber wie kann ich denn hieraus begründen,dass dieser
> > Inhalt undendlich ist ?
>
> Was treibt denn
> [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k+m^{2})-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k),[/mm]
> für m [mm]\to \infty[/mm] ?
>
beide Ausdrücke streben gegend Unendlich,also wäre der Ihnalt 0 oder wie?
lg
> FRED
>
>
> >
> > lg
> >
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Hallo Mandy,
> > Was treibt denn
> > [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k+m^{2})-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k),[/mm]
> > für m [mm]\to \infty[/mm] ?
> >
>
> beide Ausdrücke streben gegend Unendlich, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, das stimmt nicht, der erste tut es zwar, aber der zweite ist doch von m völlig unabhängig. Der ist konstant [mm] $\frac{1}{2}\ln(k)$
[/mm]
> also wäre der Ihnalt 0 oder wie?
Auch dieser Schluss stimmt nicht, selbst wenn beide Summanden gegen [mm] \infty [/mm] strebten
[mm] $\infty-\infty$ [/mm] ist ein unbestimmter Ausdruck, das muss noch lange nicht 0 sein, das kann alles mögliche sein ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Do 21.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> > > Was treibt denn
> > > [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k+m^{2})-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k),[/mm]
> > > für m [mm]\to \infty[/mm] ?
> > >
> >
> > beide Ausdrücke streben gegend Unendlich,
>
> Nein, das stimmt nicht, der erste tut es zwar, aber der
> zweite ist doch von m völlig unabhängig. Der ist konstant
> [mm]\frac{1}{2}\ln(k)[/mm]
Stimmt der zweite Ausdruck ist konstant....dann hab ich also [mm] \infty-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k).dann [/mm] ist der Ihnhalt [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}ln(k).Aber [/mm] ich überleg grad wie das sein kann,wenn ich von Unendlich eine kleine Zahl abziehe,dann hab ich doch immer noch Unendlich?
> > also wäre der Ihnalt 0 oder wie?
>
> Auch dieser Schluss stimmt nicht, selbst wenn beide
> Summanden gegen [mm]\infty[/mm] strebten
>
> [mm]\infty-\infty[/mm] ist ein unbestimmter Ausdruck, das muss noch
> lange nicht 0 sein, das kann alles mögliche sein ...
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Do 21.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Für beliebige positive [mm] k_{1} [/mm] , [mm] k_{2} [/mm] ( [mm] k_{1} [/mm] ≠ [mm] k_{2} [/mm] ) begrenzen [mm] G_{k1} [/mm] und [mm] G_{k2} [/mm] im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen
Inhalt hat, und geben Sie diesen an. |
Ok,dann hab ich noch diese Teilaufgabe gemacht:
[mm] \integral_{0}^{m}{\bruch{x}{k_{1}+x^{2}}-\bruch{x}{k_{2}+x^{2}} dx}=\integral_{0}^{m}{\bruch{x}{k_{1}+x^{2}} dx}-\integral_{0}^{m}{\bruch{x}{k_{2}+x^{2}} dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k_{1}+m^{2})-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k_{1})-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k_{2}+m^{2})+\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k_{2}).
[/mm]
Dann müsste doch der Inhalt [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}ln(k_{2})-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k_{1})
[/mm]
Stimmt das so?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Do 21.01.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Für beliebige positive [mm]k_{1}[/mm] , [mm]k_{2}[/mm] ( [mm]k_{1}[/mm] ≠ [mm]k_{2}[/mm] )
> begrenzen [mm]G_{k1}[/mm] und [mm]G_{k2}[/mm] im I. Quadranten ein
> Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche
> erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen
> endlichen
> Inhalt hat, und geben Sie diesen an.
> Ok,dann hab ich noch diese Teilaufgabe gemacht:
>
> [mm]\integral_{0}^{m}{\bruch{x}{k_{1}+x^{2}}-\bruch{x}{k_{2}+x^{2}} dx}=\integral_{0}^{m}{\bruch{x}{k_{1}+x^{2}} dx}-\integral_{0}^{m}{\bruch{x}{k_{2}+x^{2}} dx}[/mm]
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> [mm]=\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k_{1}+m^{2})-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k_{1})-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k_{2}+m^{2})+\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k_{2}).[/mm]
Das sieht gut aus.
>
> Dann müsste doch der Inhalt
> [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k_{2})-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(k_{1})[/mm]
Wo sind denn die beiden Summanden mit dem m hin?
>
> Stimmt das so?
Nein, du unterschlägst zwei Summanden. Ausklammern und ein wenig  Logarithmusgesetze ergibt:
[mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\ln(k_{1}+m^{2})-\bruch{1}{2}\cdot{}\ln(k_{1})-\bruch{1}{2}\cdot{}\ln(k_{2}+m^{2})+\bruch{1}{2}\cdot{}\ln(k_{2}).
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\left[\ln(k_{1}+m^{2})-ln(k_{2}+m^{2})+\ln(k_{1})-\ln(k_{2})\right]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\left[\ln\left(\bruch{k_{1}+m^{2}}{k_{2}+m^{2}}\right)+\ln\left(\bruch{k_{1}}{k_{2}}\right)\right]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\left[\ln\left(\bruch{k_{1}+m^{2}}{k_{2}+m^{2}}*\bruch{k_{1}}{k_{2}}\right)\right]
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
>
> lg
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
.dann ist der Ihnhalt
