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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren und berechnen Sie gegebenfalls ihren Wert.
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{x*(2-x)}}} [/mm] |
Hi,
mir fehlt hier der Ansatz zum Integral. Muss ich substituieren, oder? Nur was...
Und muss ich es in 2 Integrale aufteilen, weil ich 2 Polstellen habe?
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Hallo drunkenmonkey,
> Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale
> existieren und berechnen Sie gegebenfalls ihren Wert.
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{x*(2-x)}}}[/mm]
> Hi,
>
> mir fehlt hier der Ansatz zum Integral. Muss ich
> substituieren, oder? Nur was...
Schreibe die Wurzel um:
[mm] $\sqrt{x(2-x)}=\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{1-(1-x)^2}$
[/mm]
Damit hast du [mm] $\int{\frac{1}{\sqrt{1-(1-x)^2}} \ dx}$
[/mm]
Substituiere hier [mm] $1-x:=\sin(u)$, [/mm] also [mm] $x:=1-\sin(u)$
[/mm]
>
> Und muss ich es in 2 Integrale aufteilen, weil ich 2
> Polstellen habe?
Nein, sone Partialbruchzerlegung und Aufteilung in eine Summe von Integralen klappt bei Polynomen im Nenner, hier hast du ne böse Wurzel, die macht das kaputt
LG
schachuzipus
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> Schreibe die Wurzel um:
>
> [mm]\sqrt{x(2-x)}=\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{1-(1-x)^2}[/mm]
>
> Damit hast du [mm]\int{\frac{1}{\sqrt{1-(1-x)^2}} \ dx}[/mm]
>
> Substituiere hier [mm]1-x:=\sin(u)[/mm], also [mm]x:=1-\sin(u)[/mm]
man könnte aber auch u=1-x substituieren oder? find ich ein bisschen einfacher.
dann kommt raus F(x)=-arcsin(1-x)
bei deiner Substitution komme ich auf F(x)=arcsin(1-x) was ja das gleiche ist, nur der Rechenweg war ein bisschen länger.
[mm] [arcsin(x-1)]0;2=arcsin(1)-arcsin(-1)=\pi
[/mm]
> > Und muss ich es in 2 Integrale aufteilen, weil ich 2
> > Polstellen habe?
>
> Nein, sone Partialbruchzerlegung und Aufteilung in eine
> Summe von Integralen klappt bei Polynomen im Nenner, hier
> hast du ne böse Wurzel, die macht das kaputt
>
ich dachte eigentlich so: $ [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel{x\cdot{}(2-x)}}} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{x\cdot{}(2-x)}}} [/mm] $
sonst funktioniert die Schreibweise mit dem Limes nicht, weil man ja zwei Grenzwerte hat. Aber herauskommen tut das gleiche.
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Hallo nochmal,
> > Schreibe die Wurzel um:
> >
> > [mm]\sqrt{x(2-x)}=\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{1-(1-x)^2}[/mm]
> >
> > Damit hast du [mm]\int{\frac{1}{\sqrt{1-(1-x)^2}} \ dx}[/mm]
> >
> > Substituiere hier [mm]1-x:=\sin(u)[/mm], also [mm]x:=1-\sin(u)[/mm]
>
>
> man könnte aber auch u=1-x substituieren oder? find ich ein
> bisschen einfacher.
Klar, ich wusste nicht, ob du das Integral [mm] $\int{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \ dz}$ [/mm] kennst 
>
> dann kommt raus F(x)=-arcsin(1-x) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bei deiner Substitution komme ich auf F(x)=arcsin(1-x) was
> ja das gleiche ist, nur der Rechenweg war ein bisschen
> länger.
Ich komme (mit meiner Substitution) direkt auf [mm] $F(x)=-\arcsin(1-x)$
[/mm]
>
> [mm][arcsin(x-1)]0;2=arcsin(1)-arcsin(-1)=\pi[/mm]
>
>
> > > Und muss ich es in 2 Integrale aufteilen, weil ich 2
> > > Polstellen habe?
> >
> > Nein, sone Partialbruchzerlegung und Aufteilung in eine
> > Summe von Integralen klappt bei Polynomen im Nenner, hier
> > hast du ne böse Wurzel, die macht das kaputt
> >
>
> ich dachte eigentlich so:
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel{x\cdot{}(2-x)}}}[/mm] + [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{x\cdot{}(2-x)}}}[/mm]
Jo, das kannst du natürlich machen (Integraladditivität)
>
> sonst funktioniert die Schreibweise mit dem Limes nicht,
Naja, du könntest ja schreiben [mm] $\lim\limits_{a\downarrow 0}\lim\limits_{b\uparrow 2}\int\limits_{a}^{b}{\frac{1}{\sqrt{x(2-x)}} \ dx}$
[/mm]
> weil man ja zwei Grenzwerte hat. Aber herauskommen tut das
> gleiche.
Das ist beruhigend
LG
schachuzipus
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danke für die schnelle Antwort! Alles klar soweit
>
> Ich komme (mit meiner Substitution) direkt auf
> [mm]F(x)=-\arcsin(1-x)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
Mein Rechenweg sah dann so aus:
$ \integral_{0}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{1-(1-x)^2}}} $ = $ \integral_{0}^{2}{\bruch{-cos(u)}{\wurzel{1-(sin(u))^2}}du} $ = $ \integral_{0}^{2}{\bruch{-cos(u)}{\wurzel{cos^2(u)}}du} $ = $ \integral_{0}^{2}{-1}du} $ =[-u]= RS [-(-arcsin(x-1)]=[arcsin(x-1)]
Man musste halt erst mal die Gleichung 1-x=sin(u) nach u auflösen und noch 1-sin^2(u) ersetzen.
oder hast du es einfacher hingekriegt?
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Hallo,
> danke für die schnelle Antwort! Alles klar soweit
>
> >
> > Ich komme (mit meiner Substitution) direkt auf
> > [mm]F(x)=-\arcsin(1-x)[/mm]
> >
>
> Mein Rechenweg sah dann so aus:
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{1-(1-x)^2}}}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{-cos(u)}{\wurzel{1-(sin(u))^2}}du}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{-cos(u)}{\wurzel{cos^2(u)}}du}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{2}{-1}du}[/mm] =[-u]= RS
> [-(-arcsin(x-1)]=[arcsin(x-1)]
>
> Man musste halt erst mal die Gleichung 1-x=sin(u) nach u
> auflösen und noch [mm]1-sin^2(u)[/mm] ersetzen.
>
> oder hast du es einfacher hingekriegt?
Obacht mit den Grenzen!
Aber ansonsten ist das gut so, ich hab's nur komplett ohne Grenzen gerechnet, dann resubstituiert und mir angeschaut, was dann passiert
LG
schachuzipus
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