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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Mi 03.12.2008 | | Autor: | JMW |
| Aufgabe | Integrienen Sie:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{1+lnx} dx} [/mm] mit [mm] \limes_{a\rightarrow1} [/mm] und [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}
[/mm]
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Hir komme ich nicht so recht mit dem Integral weiter, weil das mit der substitution hier nicht so recht funktioniert. Kann mir Jemand einen Ansatz geben? Danke!
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Lautet die Aufgabe wirklich genau so?
Man kann nämlich mit der Abschätzung [mm]\ln x \leq x-1[/mm] (betrachte die Tangente an den Logarithmusgraphen bei [mm]x=1[/mm]) eine Minorante angeben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 03.12.2008 | | Autor: | JMW |
Also ganz genau lautet die Aufgabe: Prüfen Sie ob das Integral existiert und berechnen Sie ggf. ihre Werte. Nur wie soll ich es prüfen, wenn ich es nicht erst integriere, oder gibt es da einen Weg es zu prüfen ohne es auszurechnen?
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Hallo JMW!
Mit der o.g. Absschätzung solltest Du herausfinden, dass Dein Integral divergiert.
Von daher ist es nicht nötig, das ursprüngliche Integral zu berechnen.
Gruß vom
Roadrunner
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Du kannst es auch berechnen.
Substituiere [mm] z=1+\ln{x}, [/mm] dann bekommst Du
[mm] \integral{\bruch{e^{z-1}}{z}dz}=\integral{\bruch{e^z}{e*z}dz}
[/mm]
Bis auf den festen Faktor e im Nenner solltest Du das kennen.
Wenn nicht, schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Übrigens gibt es ja praktische webtools. Leider verführen sie dazu, nicht mehr selbst nach einem guten Weg zu suchen, und in der Klausur sitzt man dann da ohne Internetzugang. Dabei hätte man den Integrator so gern dabei gehabt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 03.12.2008 | | Autor: | JMW |
Also ich komme mit der Abschätzung nicht so richtig zurrecht, könnte mir Jemand das genauer erklären? Sorry, ich habe hier irgendwie ein Brett vorm kopf..
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Hallo JMW!
Mit o.g. Hinweis zur Abschätzung [mm] $\ln(x) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ x-1$ gilt für das Integral:
[mm] $$\integral_a^b{\bruch{1}{1+ \ \red{\ln(x)}} \ dx} [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] \integral_a^b{\bruch{1}{1+ \ \red{x-1}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_a^b{\bruch{1}{x} \ dx}$$
[/mm]
Ist dieses uneigentliche Integral konvergent oder divergent? Was folgt dann daraus für das Ausgangsintegral?
Gruß vom
Roadrunner
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