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Hallo,
ich habe eine Frage zu uneigentlichen Integralen.
Ich weiß, dass man bei uneigentlichen Integralen Grenzwertbetrachtung macht(machen muss).
Wenn ich sowas hier habe
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^{2}} dx}
[/mm]
Hier wüsste ich jetzt aber nicht , wie ich das lösen soll. Und vor allem , wie ich die Grenzwertbetrachtung machen soll.
Im Skript steht auch nix von Integralen, deren Grenzen -unendlich bis unendlich sind.
Im Internet konnte ich nur das hier finden:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{0}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}
[/mm]
Hilft mir das weiter ? Wieso ist hier keine Grenzwertbetrachtung ?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
> Hallo,
> ich habe eine Frage zu uneigentlichen Integralen.
> Ich weiß, dass man bei uneigentlichen Integralen
> Grenzwertbetrachtung macht(machen muss).
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> Wenn ich sowas hier habe
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^{2}} dx}[/mm]
> Hier
> wüsste ich jetzt aber nicht , wie ich das lösen soll. Und
> vor allem , wie ich die Grenzwertbetrachtung machen soll.
> Im Skript steht auch nix von Integralen, deren Grenzen
> -unendlich bis unendlich sind.
>
> Im Internet konnte ich nur das hier finden:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{f(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
>
> Hilft mir das weiter ? Wieso ist hier keine
> Grenzwertbetrachtung ?
>
> Vielen Dank im Voraus.
Eine Genzwertbetrachtung benötigst du immer. Manchmal wird sie bei einfachen Integralen weggelassen, weil die Rechnung als trivial angesehen wird, was aber nichts daran ändert, dass es um Grenzwerte geht (das tut es immer, wenn man mit dem Unendlichen rechnet!).
Für dein angefragtes Integral kannst du die Achsensymmetrie des Integranden zusammen mit angegebenen Aufteilung verwenden, also etwa so:
[mm] \int_{-\infty}^{\infty}{ \frac{1}{1+x^2} dx}=2*\int_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^2} dx}
[/mm]
Die Stammfunktion sollte hier bekannt sein, so dass man das Ergebnis hier in der Tat im Kopf ausrechnen kann.
Gruß, Diophant
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Hallo nochmal,
danke für den Tipp. Ja, die Stammfkt ist bekannt.
Ich würde das aber gerne noch deutlicher verstehen.
Wenn wir zum Beispiel
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{1/x^{2}dx} [/mm] haben
Wo mache ich dann die Grenzwertbetrachtung ? An den Polstellen der Fkt ?
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Nicht alles, was man hinschreiben kann, ist auch sinnvoll. Dein Integrand besitzt bei [mm]x=0[/mm] einen Pol. Das Integral ist daher zunächst einmal gar nicht definiert.
Man kann sich natürlich darüber Gedanken machen, ob bei Annäherung an 0 von links bzw. rechts beim Integral Grenzwerte existieren. Dann könnte man sogar diesem Integral noch einen Sinn geben.
Aber es wird nicht zum Erfolg führen ...
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Hallo,
tut mir Leid, mir ist so auf Anhieb nichts eingefallen.
Ich würde gerne halt nur wissen, wie ich vorgehen muss. Ich weiß nämlich nicht , was ich bei der Grenzwertbetrachtung machen muss. Hinke bisschen zurück, weil ich das lange nicht mehr hatte, und das alles in Vergessenheit geraten ist.
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Hallo,
> Hallo,
> tut mir Leid, mir ist so auf Anhieb nichts eingefallen.
> Ich würde gerne halt nur wissen, wie ich vorgehen muss.
> Ich weiß nämlich nicht , was ich bei der
> Grenzwertbetrachtung machen muss. Hinke bisschen zurück,
> weil ich das lange nicht mehr hatte, und das alles in
> Vergessenheit geraten ist.
Es ist schwierig für sowas "Rezepte" anzugeben!
Du hast als Beispiel angegeben:
du hast als Integranden vorher [mm] $\frac{1}{x^2}$ [/mm] gehabt.
Betrachte doch zu Übungszwecken einmal das Integral auf [-2,2] und versuche Schritt für Schritt vorzugehen -
a) wo ist der Integrand nicht definiert
b) Teile eventuell das Intervall und führe an problematischen Punkten eine Grenzwertbetrachtung durch
c) Bilde die Stammfunktion (falls sie überhaupt existiert)
d) betrachte das Grenzverhalten.
Lg Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Mi 02.07.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
vielen Dank für die Antworten.
Ich gehe mal alles langsam durch und schaue mich auch nach anderen Skripten um.
Danke vielmals.
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