Uneigentliche Integrierbarkeit zeigen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Di 29.06.2004 | | Autor: | Laura20 |
Hallo liebes Matheraum-team!
Ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich überhaupt nichts anfangen kann, ich hoffe ihr könnt mir da helfen:
f,g: [mm] [0,\infty[\to\IC [/mm] seien differenzierbar mit f(x), g(x) [mm] \to [/mm] 0 bei x [mm] \to\infty. [/mm] Zeigen Sie: Ist f * g` auf [mm] [0,\infty[ [/mm] uneigentlich integrierbar, so ist auch f`* g auf [mm] [0,\infty[ [/mm] uneigentlich integrierbar.
Ich habe bei der Aufgabe nicht mal einen Lösungsansatz, was mir ziemlich zu knabbern gibt. Ich hoffe mal ihr wisst da besser Bescheid als ich (wie so oft ;),
mfg Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Di 29.06.2004 | | Autor: | andreas |
hi
was mir so ad-hoc einfällt ist partielle integration:
da [m] f, g [/m] (zumindest rechtsseitig differnzierbar und damit (rechtsseitig) stetig auf [m] [0, \infty [ [/m] ist [m] f(0), g(0) [/m] und damit auch das produkt [m] f(0) \cdot g(0) [/m] endlich. dann gilt:
[m] \displaystyle{ \int_0^\infty f' \cdot g \; \text{d}x = f(x) \cdot g(x) |_{x=0}^\infty - \int _0^\infty f \cdot g' \; \text{d}x [/m]
existiert nun [m] \int _0^\infty f \cdot g' \; \text{d}x} [/m], dann sind auf der rechten seite der gleichung beide summanden definiert und endlich, also existiert auch die linke seite und andersrum.
es kann aber natürlich auch sein, dass ich total auf dem holzweg bin...
andreas
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