Uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 14.04.2011 | | Autor: | Alex.H |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{\wurzel{x^{3}+2x+3}} dx} [/mm] |
Hi könnte mir einer helfen den richtigen Ansatz zu der oben abgebildeten Aufgabe zu finden?
folgendes habe ich versucht:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{\wurzel{x^{3}+2x+3}} dx}<\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x^{3}}} dx}+\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x^{3}}} dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}+\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x^{\bruch{3}{2}}}}
dx}+\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x^{\bruch{3}{2}}}} dx}
[/mm]
danach mit [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^{\alpha}} dx}
[/mm]
konv. bei [mm] \alpha>1
[/mm]
diverg. bei [mm] \alpha\le1
[/mm]
und mit [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{\alpha}} dx}
[/mm]
konv. bei [mm] \alpha<1
[/mm]
diverg. bei [mm] \alpha\ge1
[/mm]
daher ist [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}+\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x^{\bruch{3}{2}}}}
dx}+\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x^{\bruch{3}{2}}}} dx}
[/mm]
danach mit [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^{\alpha}} dx} [/mm] divergent
Nun haben wir festgestellt das wir das so nicht machen können, weil wir gesagt haben [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{\wurzel{x^{3}+2x+3}} dx}<\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x^{3}}} dx}+\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x^{3}}} dx} [/mm] und somit noch nicht bewiesen ist, dass das Anfangsintegral divergiert.
Kann mir da jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
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Hallo Alex.H,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{\wurzel{x^{3}+2x+3}} dx}[/mm]
>
> Hi könnte mir einer helfen den richtigen Ansatz zu der
> oben abgebildeten Aufgabe zu finden?
>
> folgendes habe ich versucht:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{\wurzel{x^{3}+2x+3}} dx}<\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x^{3}}} dx}+\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x^{3}}} dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}+\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x^{\bruch{3}{2}}}}
dx}+\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x^{\bruch{3}{2}}}} dx}[/mm]
>
> danach mit [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^{\alpha}} dx}[/mm]
>
> konv. bei [mm]\alpha>1[/mm]
> diverg. bei [mm]\alpha\le1[/mm]
> und mit [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{\alpha}} dx}[/mm]
> konv.
> bei [mm]\alpha<1[/mm]
> diverg. bei [mm]\alpha\ge1[/mm]
> daher ist [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}+\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x^{\bruch{3}{2}}}}
dx}+\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x^{\bruch{3}{2}}}} dx}[/mm]
>
> danach mit [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^{\alpha}} dx}[/mm]
> divergent
> Nun haben wir festgestellt das wir das so nicht machen
> können, weil wir gesagt haben
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{\wurzel{x^{3}+2x+3}} dx}<\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x^{3}}} dx}+\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x^{3}}} dx}[/mm]
> und somit noch nicht bewiesen ist, dass das Anfangsintegral
> divergiert.
Um das zu zeigen, mußt Du eine divergente Minorante finden.
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Konvergenzkriterien .- Uneigentliche Integrale
> Kann mir da jemand helfen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Viele Grüße
>
Gruss
MathePower
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Ich habs so versucht,...
[mm]\integral_{}^{\infty}{\bruch{x+1}{\wurzel{x^3+2x+3}} dx}<\integral_{}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x^3+2x+3}} dx}[/mm]
[mm]<\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x(x^2+2x+1)+3}} dx} <\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x^2(x^2+2x+1)+3}} dx}\approx\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x^2(x^2+2x+1)}} dx}[/mm]
[mm]<\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x^2((x+1)^2)}} dx}[/mm]
[mm]<\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{x+1} dx}=ln|x+1|[/mm]
was divergent ist...
kann das hinkommen?
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Alle ungleichheitszeichen in Obigen Post sind falsch herum... "<" muss ">" sein!
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Hallo Speedmaster,
> Ich habs so versucht,...
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> [mm]\integral_{}^{\infty}{\bruch{x+1}{\wurzel{x^3+2x+3}} dx}<\integral_{}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x^3+2x+3}} dx}[/mm]
>
> [mm]<\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x(x^2+2x+1)+3}} dx} <\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x^2(x^2+2x+1)+3}} dx}\approx\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x^2(x^2+2x+1)}} dx}[/mm]
[mm]<\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x(x^2+2x+1)+3}} dx} <\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{\blue{x^2}(x^2+2x+1)+3}} dx}\approx\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x^2(x^2+2x+1)}} dx}[/mm]
Wo kommt hier plötzlich das "[mm]\blue{x^{2}}[/mm]" her?
>
> [mm]<\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{x^2((x+1)^2)}} dx}[/mm]
>
> [mm]<\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{x+1} dx}=ln|x+1|[/mm]
>
> was divergent ist...
>
> kann das hinkommen?
>
Gruss
MathePower
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ich habe den Nenner vergrößert, wodurch der gesamte Ausdruck kleiner wird. Die 3 habe ich weggelassen, da bei [mm]x \rightarrow \infty[/mm] 3 nichtmehr ausschlaggebend ist, bin mir nicht so sicher ob ich die 3 einfach weglassen darf...
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Hallo Speedmaster,
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> ich habe den Nenner vergrößert, wodurch der gesamte
Durch Multiplikation mit x innerhalb der Wurzel,
wird der Nenner nur größer, wenn x > 1 ist.
[mm]\bruch{x}{\wurzel{x*\left(x^{2}+2*x+1\right)+3}} > \bruch{x}{\wurzel{\blue{x}*x*\left(x^{2}+2*x+1\right)+3}}[/mm] für x > 1.
> Ausdruck kleiner wird. Die 3 habe ich weggelassen, da bei [mm]x \rightarrow \infty[/mm]
> 3 nichtmehr ausschlaggebend ist, bin mir nicht so sicher ob
> ich die 3 einfach weglassen darf...
>
Durch Weglassen der "3" verkleinerst Du wieder den Nenner.
Gruss
MathePower
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hm,... Wie könnte man das Integral denn geschickt auf eine Minorante, wie [mm]\bruch{1}{x}[/mm] führen? Beim Versuch den Term unter der Wurzel in einem Binom zu verpacken stört wieder die 3... sonst ginge [mm](x+1)^3[/mm]hierbei würde wieder +2 dazukommen worurch sich die Wurzel nicht auflösen würde...
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Hallo Speedmaster,
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> hm,... Wie könnte man das Integral denn geschickt auf eine
> Minorante, wie [mm]\bruch{1}{x}[/mm] führen? Beim Versuch den Term
> unter der Wurzel in einem Binom zu verpacken stört wieder
> die 3... sonst ginge [mm](x+1)^3[/mm]hierbei würde wieder +2
Ersetze den Nenner durch [mm]\left(x+c\right)^{3/2}[/mm],
wobei c so zu wählen ist, daß [mm]c^{3}=3[/mm] ist.
> dazukommen worurch sich die Wurzel nicht auflösen
> würde...
Gruss
MathePower
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[mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{\wurzel{x^3+2x+3}}> dx}\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{\wurzel{x^3+6x^2+12x+8}} dx}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{\wurzel{(x+2)^3}} dx}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{(x+2)\wurzel{(x+2)}} dx}[/mm]
[mm]>\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{(2x+2)\wurzel{(x+2)}} dx}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{(x+1)\wurzel{(x+2)}} dx}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x+2}} dx}[/mm]
dieses Integral divergiert und ist kleiner als das Ursprungsintegral und divergent, damit müsste dann gezeigt sein, dass es divergiert oder?
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Hallo Speedmaster,
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> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{\wurzel{x^3+2x+3}}> dx}\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{\wurzel{x^3+6x^2+12x+8}} dx}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{\wurzel{(x+2)^3}} dx}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{(x+2)\wurzel{(x+2)}} dx}[/mm]
>
> [mm]>\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{(2x+2)\wurzel{(x+2)}} dx}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x+1}{(x+1)\wurzel{(x+2)}} dx}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x+2}} dx}[/mm]
>
> dieses Integral divergiert und ist kleiner als das
> Ursprungsintegral und divergent, damit müsste dann gezeigt
> sein, dass es divergiert oder?
>
Ja, das ist somit gezeigt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Do 14.04.2011 | | Autor: | Alex.H |
Vielen Dank auch von mir.
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Vielen Vielen Dank <img src="/editor/extrafiles/images/daumenhoch.gif" _cke_saved_src="/editor/extrafiles/images/daumenhoch.gif" title="daumenhoch.gif" alt="daumenhoch.gif" _cke_realelement="true">
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