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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:15 Di 26.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgendes Integral, geben Sie an, ob es sich um ein uneigentliches Integral handelt.
[mm] \integral_{1}^{4}\bruch{3x²-2}{2x^{3}-4x+2}dx [/mm] |
Ich bin eigentlich sehr weit gekommen, und habe auch ein etwas rausgebracht. Ich bin mir aber nicht wirklich sicher, ob dass alles so passt, deshalb hätte ich gerne von euch eine kurze Rückmeldung, ob alles soweit in Ordnung ist.
Als erstes habe ich geschaut wo die Defenitionslücke der Funktion ist:
Also [mm] 2x^{3}-4x+2=0 [/mm] => x=1
Dadruch, dass [mm] 1\in[1,4] [/mm] folgt: es haldelt sich um ein uneigentliches Integral.
Jetzt die Berechnun:
[mm] \integral_{1}^{4}\bruch{3x²-2}{2x^{3}-4x+2}dx=\integral_{1}^{c}\bruch{3x²-2}{2x^{3}-4x+2}dx+\integral_{c}^{4}\bruch{3x²-2}{2x^{3}-4x+1}dx [/mm] mit [mm] c\in(1,4]
[/mm]
[mm] =1/2*(\limes_{a\rightarrow 1}(\integral_{a}^{c}ln(x^{3}-2x+2)dx)+\integral_{c}^{4}ln(x^{3}-2x+2)dx)
[/mm]
[mm] =1/2(\limes_{a\rightarrow 1}(ln(c^{3}-2c+2)-\underbrace{ln(a^{3}-2a+2)}_{divergiert})+ln(4^{3}-6+2)-ln(c^{3}-2c+2)
[/mm]
Genügt die oben markierte Divergenz um zu sagen, dass das gesamt Integral divergiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 Mi 27.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo xtraxtra!
> Als erstes habe ich geschaut wo die Defenitionslücke der
> Funktion ist:
> Also [mm]2x^{3}-4x+2=0[/mm] => x=1
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Wie lautet denn nun der Nenner? Oben (und auch weiter unten) steht nämlich eine $+1_$ am Ende.
> Jetzt die Berechnun:
>
> [mm]\integral_{1}^{4}\bruch{3x²-2}{2x^{3}-4x+1}dx=\integral_{1}^{c}\bruch{3x²-2}{2x^{3}-4x+1}dx+\integral_{c}^{4}\bruch{3x²-2}{2x^{3}-4x+1}dx[/mm]
> mit [mm]c\in(1,4][/mm]
Was hat dieses $c_$ zu bedeuten?
Das ist in meinen Augen überflüssig.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:44 Mi 27.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Entschuldigung, der Nenner heißt 2x³-4x+2 (ich werde es oben mal korrigieren)
Und das mit dem c habe ich selbst nicht so ganz verstanden wozu genau man das jetzt braucht. Wir haben es in der Übung immer so gemacht.
Ich habe es mir so erklärt, dass man versucht, das Integral zu splitten, damit mit eins hat, über das man konkrete Aussagen treffen kann. Und das andere mit der Definitionslücke, welches dann "Probleme" macht.
Bei uns im Skript steht da nämlich auch sowas mit diesem c, aber so genau verstehe ich den Sinn auch nicht.
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Hallo xtraxtra,
du Splittest das Integral an der Definitionslücke!
Die ist hier wo?
Wofür setzt du also c ein? Du betrachtest den Grenzwert immer in Richtung der Polstelle, die liegt hier wo?
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mi 27.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Die Definitionslücke ist hier bei 1, allerdings geht das Integral ja auch erst bei 1 los.
In der Übung haben wie als Beispiel soetwas gehabt:
[mm] \integral_{1}^{5}..... [/mm] mit der Definittionslücke bei 1.
Dann haben wir es so gemacht:
[mm] \integral_{1}^{5}..... =\limes_{a\rightarrow 1}\integral_{a}^{2}......+\integral_{2}^{5}......
[/mm]
Die 2 ist dann ja hier einfach willkührlich gewählt. Deshalb habe ich sie mit einer allgemeinen Variablen c ersetzt.
Warum man diese Aufteilung hier aber machen muss habe ich auch nicht verstanden. Ich finde sie etzwas unnötig. Aber vllt kann mir das ja einer von euch nochmal erklären.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mi 27.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo xtraxtra!
Die Unterteilung an der Stelle $x \ = \ 2$ ist m.E. völlig unnötig und überflüssig.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 27.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Ok, danke für die Info.
Das heißt also im Grunde habe ich die Aufgabe oben schon richtig gelöst. Nur habe ich eine überflüssigen Schritt eingebaut?
D.h. Die Aufteilung einfach sein lassen, dann die Untergrenze gegen 1 gehn lassen und rausfinden, dass das Inegral bei 1 gegen [mm] -\infty [/mm] geht. Und somit eine Divergenz vorliegt?
Richtig so?
Und das Integral ist aber trotzdem ein uneigentliches?
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Hiho,
> Das heißt also im Grunde habe ich die Aufgabe oben schon
> richtig gelöst. Nur habe ich eine überflüssigen Schritt
> eingebaut?
Korrekt.
> D.h. Die Aufteilung einfach sein lassen, dann die
> Untergrenze gegen 1 gehn lassen und rausfinden, dass das
> Inegral bei 1 gegen [mm]-\infty[/mm] geht. Und somit eine Divergenz
> vorliegt?
Naja, nicht das Integral geht gegen [mm] -\infty [/mm] sondern der Wert der Stammfunktion an der Stelle 1. Der Wert des Integrals geht dann natürlich gegen [mm] +\infty [/mm] (warum?).
> Und das Integral ist aber trotzdem ein uneigentliches?
Ja, denn an einer Stelle liegt eine Singularität vor, damit uneigentlich.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mi 27.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Ok, dann hier noch ein Fall, nur ob ichs verstanden hab, oder nicht.
[mm] \integral_{0}^{9}\bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] => Definitionslücke bei 0
[mm] =[2\wurzel{x}]_0^9=6-\limes_{a\rightarrow\ 0}2\wurzel{a}=6
[/mm]
Ist das so richitg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Mi 27.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
sowohl im 1. wie im zweiten Integral musst du zuerst von a bis 4 bzw 9 integrieren, dann den GW agegen 1 bzw. 0
so wie du es geschrieben hast ist es schlecht. also
[mm] \integral_{1}^{4}{f(x) dx}=\limes_{a\rightarrow 1}\integral_{a}^{4}{f(x) dx}=\lim...=
[/mm]
in beiden faellen.
Gruss leduart
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