Uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 So 30.11.2008 | | Autor: | martin7 |
| Aufgabe | Zeigen Sie
[mm] \bruch{\pi}{4} \le \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{1+n^2} \le \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
Anleitung: Schätzen Sie die Reihe nach unten und oben durch passende uneigentlich Integrale über [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] ab |
Ich habe in meiner Formelsammlung nachgeschaut und hier steht die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] ist arctan(x).
In MathCAD habe ich mir diese Funktion genauer angeschaut und die geht weit über den Wert von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] hinaus. Ist das die falsche Vorgangsweise?
Vielen Dank für jegliche Hilfestellungen!!!! 
Lg
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:11 Mo 01.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Martin!
> Zeigen Sie
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> [mm]\bruch{\pi}{4} \le \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{1+n^2} \le \bruch{1}{2}[/mm]
> + [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
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> Anleitung: Schätzen Sie die Reihe nach unten und oben durch
> passende uneigentlich Integrale über [mm]\bruch{1}{1+x^2}[/mm] ab
> Ich habe in meiner Formelsammlung nachgeschaut und hier
> steht die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{1+x^2}[/mm] ist arctan(x).
> In MathCAD habe ich mir diese Funktion genauer angeschaut
> und die geht weit über den Wert von [mm]\bruch{1}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] hinaus. Ist das die falsche Vorgangsweise?
Der Arcustangens hat Werte zwischen [mm] $-\pi/2$ [/mm] und [mm] $+\pi/2$, [/mm] das ist richtig.
Hast du dir denn überlegt, wie du die Summe durch Integrale abschätzt?
Für die linke Abschätzung brauchst du ein Integral, für das die Summe eine Obersumme darstellt, für die rechte eines, für das die Summe eine Untersumme darstellt.
Also für die linke
[mm] \int_a^\infty \bruch{dx}{1+x^2} \le \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{1+n^2} [/mm]
Was ist ein passender Wert für a? Für die Obersumme zerlege das Interval [mm] $[a,\infty)$ [/mm] in Teile der Breite 1, sodass für jeden Streifen gilt:
[mm]\bruch{1}{1+x^2} \le \bruch{1}{1+n^2} [/mm] für ein [mm] $n\in \IN$
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mo 01.12.2008 | | Autor: | martin7 |
Hallo Rainer!
Vielen Dank für deine Hilfe!
Lg
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