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| Aufgabe | Uneigentliches Integral
[mm] \integral_{1}^{\infty} lnx\, [/mm] dx |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen, hab folgendes Problem:
Für eine Klausur sollen wir das uneigentliche Integral
[mm] \integral_{1}^{\infty} lnx\, [/mm] dx
lösen.
Als erstes habe ich die Stammfunktion gebildet:
x*ln*-x [mm] \integral_{1}^{infty} [/mm] ,
dann für [mm] \infty [/mm] =a eingesetzt, wobei a [mm] \to \infty [/mm] und dann die Grenzen eingesetzt:
(a*lna-a)-1,
nun weiss ich nicht mehr was ich tun muss um ein eindeutiges ergebniss zubekommen.
Danke für eure Hilfe im Vorraus.
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> Uneigentliches Integral
> [mm]\integral_{1}^{\infty} lnx\,[/mm] dx
Dieses Integral ist unendlich, was man z.B. mittels Majorantenkriterium erkennt: ln(x) ist größer als 1 für x > e. Also ist
[mm] $\int_1^\infty \ln x\, [/mm] dx < [mm] \int_1^e \ln x\, [/mm] dx + [mm] \int_e^\infty 1\,dx$, [/mm] und letzteres Integral ist offensichtlich unendlich.
Du kannst natürlich auch [mm] $\int_1^a \ln x\,dx$ [/mm] berechnen und dann $a [mm] \to \infty$ [/mm] gehen lassen. Dazu berechnest du am einfachsten ohne Grenzen eine Stammfunktion.
Dein Ergebnis [mm] $\int_1^a \ln x\,dx [/mm] = a [mm] \ln [/mm] a - a + 1$ ist richtig. Wie verhält sich dieser Ausdruck für $a [mm] \to \infty$?
[/mm]
Gruß,
SirJective
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Danke für die schnelle Antwort, aber genau das letztere ist mein Problem.
Wenn ich für a eine beliebige hoche Zahl einsetzte, bekomme ich einen grossen wert. Heisst dies also, dass das Integral nur unendlich ist und man dann Fertig ist?
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Genau: Mit a gegen unendlich divergiert das Integral gegen unendlich.
Auf deutsch: Zu jeder vorgegebenen positiven Schranke R gibt es ein x, so dass für alle $a > x$ der Wert $a [mm] \ln [/mm] a - a + 1$ größer als R ist.
Gruß,
SirJective
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