Uneigentl. mehrdim. Integr. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie dass für alle b>0 das Integral:
[mm] \integral_{0}^{b}\integral_{0}^{\infty}{sinxe^{-xt}dt}dx [/mm] absolut integrierbar ist, aber das Integral:
[mm] \integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{\infty}{sinxe^{-xt}dt}dx [/mm]
nicht absolut integrierbar ist |
Meine Ansatz war eben zuerst nach t zu integrieren:
[mm] =\integral_{0}^{b}{\bruch{-e^{-tx}sinx}{x} dx}
[/mm]
Dann die Grenzen einsetzen und den lim anwenden und bei dem anderen Summanden die Null einsetzen:
[mm] =\integral_{0}^{b}{\bruch{sinx}{x} dx}
[/mm]
Und da hängt es dann da dieses Integral ja nicht existiert.
Dann habe ich Fubini probiert diesmal bei dem Integral mit den 2 unendlichen Grenzen, welches NICHT absolut integrierbar sein sollte.Also habe ich es nach x integriert.Da kam ich auf das Integral:
[mm] \integral_{0}^{/infty}{\bruch{-1}{t^{2}+1} dt}
[/mm]
Aber das ist ja ganz einfach integrierbar und das dürfte es ja laut Aufgabe nicht oder.
Ich bin mir auch nicht sicher ob ich bei den Integralen Fubini anwenden darf.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mi 04.07.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie dass für alle b>0 das Integral:
> [mm]\integral_{0}^{b}\integral_{0}^{\infty}{sinxe^{-xt}dt}dx[/mm]
> absolut integrierbar ist, aber das Integral:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{\infty}{sinxe^{-xt}dt}dx[/mm]
> nicht absolut integrierbar ist
>
> Meine Ansatz war eben zuerst nach t zu integrieren:
> [mm]=\integral_{0}^{b}{\bruch{-e^{-tx}sinx}{x} dx}[/mm]
Das ist nicht gleich dem Integral oben.
Ich nehme an, du meinst
[mm]=\integral_{0}^{b}\left[\bruch{-e^{-tx}sinx}{x}\right]_0^\infty\, dx[/mm]
> Dann die
> Grenzen einsetzen und den lim anwenden und bei dem anderen
> Summanden die Null einsetzen:
> [mm]=\integral_{0}^{b}{\bruch{sinx}{x} dx}[/mm]
> Und da hängt es
> dann da dieses Integral ja nicht existiert.
Wieso denn nicht? Der Integrand [mm]\bruch{\sin x}{x}[/mm] hat bei 0 den wohldefinierten endlichen Grenzwert 1. Damit existiert das Integral.
Aber das ist nicht die Aufgabe. Du sollst zeigen, dass
[mm] \integral_{0}^{b}\integral_{0}^{\infty}{\left|\sin xe^{-xt}\right|dt}dx[/mm]
existiert und [mm] $<\infty$ [/mm] ist.
Dein erster Schritt war im Prinzip richtig, nur dass du dabei
[mm] \integral_{0}^{b}\left|\bruch{\sin x}{x} \right|dx = \integral_{0}^{b}\bruch{|\sin x|}{x} \,dx [/mm]
herausbekommst.
Tipp: es genügt zu zeigen, dass [mm] $\bruch{|\sin x|}{x}$ [/mm] auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] beschränkt ist (warum?)
Zum zweiten Teil: den Satz von Fubini kannst du nicht anwenden, weil die absolute Integrierbarkeit eine Voraussetzung des Satzes ist.
Viele Grüße
Rainer
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