Uneigentl. Parameterintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] D_{x}\subset\IR^{n} [/mm] und [mm] D_{y}\subset\IR^{m} [/mm] quadrierbare Mengen. Die Funktion [mm]f:D_{x}\times D_{y}\to \IR[/mm] sei stetig, und für es gelte:
- Es ex. eine ausschöpfende Folge [mm] (D_{n})\subset D_{y} [/mm] quadrierbarer Mengen, sodass [mm] f(x,\cdot) [/mm] Riemann-integrierbar über [mm] D_{n} [/mm] ist
(eine ausschöpfende Folge von Mengen ist: monoton wachsende Folge von Mengen; [mm]\forall r > 0: \lim_{k\to\infty}|(D_{y}\cap B_{r}(0))\textbackslash D_{k}| = 0.[/mm] )
- [mm]\forall \varepsilon > 0:\exists N_{\varepsilon}\in\IN: \forall n > N_{\varepsilon} \forall x\in D_{x}: \left|\int_{D_{y}}f(x,y)\ dy - \int_{D_{n}}f(x,y)\ dy\right| < \varepsilon.[/mm]
Zeige, dass die Funktion [mm]F(x) := \int_{D_{y}}f(x,y) dy[/mm] stetig auf [mm] D_{x} [/mm] ist. |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe habe ich Probleme. Wir haben das schon für "normale" (= nicht uneigentliche) Integrale gezeigt, da aber zusätzlich [mm] D_{y} [/mm] kompakt vorausgesetzt. Das haben wir hier nicht mehr.
Zu zeigen ist ja: Für alle [mm] x\in D_{x} [/mm] gilt: Für alle Folgen [mm] (x_{k})\subset D_{x} [/mm] mit [mm] x_{k}\to [/mm] x ist [mm] F(x_{k})\to [/mm] F(x).
Das heißt zu zeigen ist:
[mm]\left|\int_{D_{y}}f(x_{k},y)\ dy - \int_{D_{y}}f(x,y)\ dy\right| \to 0 0[/mm] [mm] (k\to \infty).
[/mm]
Ich bin soweit:
[mm]\left|\int_{D_{y}}f(x_{k},y)\ dy - \int_{D_{y}}f(x,y)\ dy\right|[/mm]
[mm]= \left|\int_{D_{y}}f(x_{k},y)\ dy - \int_{D_{n}}f(x_{k},y)\ dy + \int_{D_{n}}f(x_{k},y)\ dy - \int_{D_{n}}f(x,y)\ dy + \int_{D_{n}}f(x,y)\ dy - \int_{D_{y}}f(x,y)\ dy\right|[/mm]
[mm]\le \left|\int_{D_{y}}f(x_{k},y)\ dy - \int_{D_{n}}f(x_{k},y)\ dy\right| + \left|\int_{D_{n}}f(x_{k},y)\ dy - \int_{D_{n}}f(x,y)\ dy\right| + \left|\int_{D_{n}}f(x,y)\ dy - \int_{D_{y}}f(x,y)\ dy\right|[/mm]
[mm]< 2\varepsilon + \left|\int_{D_{n}}f(x_{k},y)\ dy - \int_{D_{n}}f(x,y)\ dy\right|[/mm]
An dieser Stelle hänge ich nun. Ich wöllte so weitermachen:
$< [mm] 2\varepsilon [/mm] + [mm] \int_{D_{n}}\left|f(x_k,y)-f(x,y)\right|\ [/mm] dy$
[mm] $\le 2\varepsilon [/mm] + [mm] |D_{n}|*\sup_{y\in D_{y}}\left|f(x_k,y)-f(x,y)\right|$,
[/mm]
[mm] (D_{n} [/mm] ist beschränkt, da quadrierbar), aber das Supremum muss ja gegen 0 gehen, und ich weiß nicht, ob die Stetigkeit von f da ausreicht. In der Vorlesung haben wir gleichmäßige Stetigkeit gebraucht, um diesen Schritt zu begründen.
Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße und vielen Dank für Eure Hilfe!
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 20.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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