Unbestimmtes Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Do 25.01.2007 | | Autor: | bluebird |
| Aufgabe | Berechne das folgende Integral:
[mm]\integral_{}{} \bruch{1}{x^3+1}\, dx [/mm] |
Ich versuche das Integral nun schon längere Zeit zu lösen. Partialbruchzerlegung scheint in den komplexen Zahlen zu funktionieren, ist aber alles andere als schön. Mit der Produktregel komme ich auf keinen grünen Zweig. Vermutlich geht es mit einer Substitution, bloß sehe ich nicht, was ich substituieren soll und vor allem wie das genau funktioniert.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Berechne das folgende Integral:
> [mm]\integral_{}{} \bruch{1}{x^3+1}\, dx [/mm]
> Ich versuche das
> Integral nun schon längere Zeit zu lösen.
> Partialbruchzerlegung scheint in den komplexen Zahlen zu
> funktionieren, ist aber alles andere als schön. Mit der
> Produktregel komme ich auf keinen grünen Zweig. Vermutlich
> geht es mit einer Substitution, bloß sehe ich nicht, was
> ich substituieren soll und vor allem wie das genau
> funktioniert.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Hm. Ich kann dir leider nur die Lösung liefern, die meiner Meinung nach auf einen sehr komplizierten Rechenweg}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{hinweist, den ich dir leider nicht darlegen kann!}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \integral\bruch{1}{x^3+1}\,\mathrm{d}x=\bruch{\wurzel{3}*\operatorname{arctan}\left(\bruch{\wurzel{3}*\left(2x-1\right)}{3}\right)}{3}-\bruch{\ln\left(x^2-x+1\right)}{6}+\bruch{\ln\left(x+1\right)}{3}+C$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Grüße, Stefan.}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Do 25.01.2007 | | Autor: | riwe |
der 1. teil ist relativ einfach mit partialbruchzerlegung zu machen
[mm] I=\frac{1}{3}\integral_{}^{}{(\frac{1}{x+1}+\frac{2-x}{x²-x+1})dx}
[/mm]
der 2. teil des integranden ist nun ekliger, und da mußt du vermutlich die substitution [mm]x-\frac{1}{2}=\frac{u}{2}\cdot\sqrt{3}[/mm]
vornehmen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Do 25.01.2007 | | Autor: | bluebird |
Die Partialbruchzerlegung, habe ich zu beginn bereits durchgeführt und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
[mm]\integral_{}{} \bruch{1/3}{x+1}\,dx+\integral_{}{} \bruch{1/2+\wurzel{3/4}i}{x-1/2-\wurzel{3/4}i}+\integral_{}{} \bruch{1/2-\wurzel{3/4}i}{x-1/2+\wurzel{3/4}i}[/mm]
Aber da bringt mir die o.g. Substitution nichts, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Do 25.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Die Partialbruchzerlegung, habe ich zu beginn bereits
> durchgeführt und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
> [mm]\integral_{}{} \bruch{1/3}{x+1}\,dx+\integral_{}{} \bruch{1/2+\wurzel{3/4}i}{x-1/2-\wurzel{3/4}i}+\integral_{}{} \bruch{1/2-\wurzel{3/4}i}{x-1/2+\wurzel{3/4}i}[/mm]
>
> Aber da bringt mir die o.g. Substitution nichts, oder?
Also, den Nenner kann man so zerlegen : [mm] (x+1)(x^2 [/mm] -x +1) Oder?
Dann bildest Du die Summe:
[mm] \bruch{A}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{Bx+C}{x^2-x+1}
[/mm]
Klar wie weiter geht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Do 25.01.2007 | | Autor: | riwe |
lies halt meinen beitrag oben (der 3. von oben), da steht es ja
> > Die Partialbruchzerlegung, habe ich zu beginn bereits
> > durchgeführt und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
> > [mm]\integral_{}{} \bruch{1/3}{x+1}\,dx+\integral_{}{} \bruch{1/2+\wurzel{3/4}i}{x-1/2-\wurzel{3/4}i}+\integral_{}{} \bruch{1/2-\wurzel{3/4}i}{x-1/2+\wurzel{3/4}i}[/mm]
>
> >
> > Aber da bringt mir die o.g. Substitution nichts, oder?
>
> Also, den Nenner kann man so zerlegen : [mm](x+1)(x^2[/mm] -x +1)
> Oder?
> Dann bildest Du die Summe:
>
>
> [mm]\bruch{A}{x+1}[/mm] + [mm]\bruch{Bx+C}{x^2-x+1}[/mm]
>
> Klar wie weiter geht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Do 25.01.2007 | | Autor: | bluebird |
Das ist soweit schon erledigt. Die fertige Partialbruchzerlegung s.o.
|
|
|
|
