Unbekannte Basis < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] 9log_{x}16=log_{2}x
[/mm]
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*nix rumgepostet*
Linke Seite vereinfachen
[mm]9log_{x}16=log_{x}16^{9}=log_{x}(2^{4})^{9}=log_{x}(2^{4*9})=log_{x}(2^{36})[/mm]
Vereinfachte Ausgangsgleichung
[mm]log_{x}(2^{36})=log_{2}x[/mm]
bestimme eine Hilfavariable (eine Hilfsunbekannte) a
Linke Seite = Gleichung I:
[mm]a=log_{x}(2^{36}) \gdw x^{a}=2^{36}[/mm]
Rechte Seite = Gleichung II:
[mm]a=log_{2}x\multsp \Longleftrightarrow 2^{a}=x[/mm]
x aus Gleichung II in rechte Seite von Gleichung I einsetzen
[mm]{{{({2^a})}^a}=\multsp {2^{{a^2}}}=\multsp {2^{36}}}[/mm]
Exponenten gleichsetzen
[mm]a^{2}=36[/mm]
[mm]{a=\multsp \pm \multsp {\sqrt{6}}}[/mm]
a in Gleichung II einsetzen
[mm]{{2^a}=\multsp {x_{1,2}}=\multsp {2^{\pm 6}}[/mm]
[mm]{x_1}=\multsp {2^{6\multsp }}=\multsp 64[/mm]
[mm]{x_2}=\multsp {2^{-6}}=\multsp \frac{1}{64}=\multsp 0.015626}[/mm]
Bitte an ein hilfreiches Mathigenie
1. Kontrolle
2. Alternative Lösungswege
Allerbeste Grüsse aus dem sonnigen Zürich
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Fr 21.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ben
1. Kontrolle:100%richtig, 1Tipfehler:t $ [mm] {a=\multsp \pm \multsp {\sqrt{6}}} [/mm] $ statt [mm] a=\pm6
[/mm]
2. Alternative:$ [mm] log_b(y)=\bruch{log_a(y)}{log_a(b)}
[/mm]
damit von [mm] log_{x} [/mm] auf [mm] log_{2} [/mm] umrechnen.
die Umformung auf [mm] 2^{36} [/mm] natürlich weiter benutzen.
(der Beweis der obigen Formel benutzt ja aber deinen Weg.)
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Fr 21.04.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo leduart
Vielen Dank für Deinen Kontrollblick.
Ich bis auch froh, dass Du mir einen 2. Lösungsweg skizziert hast, den ich so verstanden habe:
Alternativer Weg mittels Formel zum Umrechnen von Logarithmen:
[mm]\log_{b}c=\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b}[/mm]
Auf der linke Seite der vereinfachten Ausgangsgleichung die Basis x durch die Basis 2 ersetzen :
[mm]\log_{x}2^{36}= \frac{\log_{2}2^{36}}{\log_{2}x}[/mm]
[mm]\frac{\log_{2}2^{36}}{\log_{2}x}=\log_{2}x[/mm]
[mm]\log_{2}2^{36}=\log_{2}x * \log_{2}x[/mm]
[mm]36*\log_{2}2=(\log_{2}x)^2[/mm]
[mm]36*1=(\log_{2}x)^{2}[/mm]
Beide Seiten radizieren:
[mm]\pm 6=\log_{2}x \Longleftrightarrow 2^{\pm 6}=x[/mm]
Herzlichen Dank für Deine Hinweis
wünscht grüssend Beni aus Zürich
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