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| Aufgabe | | (a) Vervollständigen Sie den in der Vorlesung begonnenen Beweis der Unabhängigkeit des Axiomensystems [mm] \summe [/mm] der Gruppentheorie durch Nachweis der Unabhängigkeit des Axioms (I) |
Soooooo
ich habe kein geometrie-zweig gefunden, deswegen wandert die frage in diese abteilung!
also zur Vollständigkeit halber hier die Gruppenaxiome
(I) [mm] \forall [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] G gilt (x * y) * z = x * (y * z) (wobei * eine Verknüpfung ist)
(II) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] G [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] G, sodass gilt a * x = b
(III) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] G [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] G, sodass gilt y * a = b
das Lemma, welches wir beweisen sollten, war, dass diese Theorie widerspruchsfrei, unabhängig und nicht vollständig ist. wir sollen nun die Unabhängigkeit beweisen.
Unabhängigkeit eines Axiomensystems bedeutet ja, dass sowohl die Negation, als auch die normale Aussage gilt.
also habe ich erstma (I) negiert:
[mm] \neg [/mm] (I) [mm] \exists [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] G: (x * y) * z [mm] \not= [/mm] x * (y * z)
das ist ja nicht schwer zu zeigen. wenden wir nun einfach als verknüpfung die subtraktion an und x, y, z sind im bereich der natürlichen zahlen, dann klappt das wunderbar. nun muss ich ja noch zeigen, dass die negation in dem axiomensystem widerspruchsfrei ist. hier habe ich probleme! unser prof hat zum beweis der widerspruchsfreieht von (I), (II), (III) die gruppe G = {e} mit e*e=e benutzt. das ist auch sehr logisch. aber welches modell suche ich mir hier bei dem beispiel? die natürlichen zahlen?
kann mir da jmd helfen!
vielen lieben dank
lenzlein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Do 28.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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