Unabhängigkeit über EW < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien $X$, $Y$ nicht-negative, reelle ZVen und $f$, $g$ positive, messbare Funktionen, dann kennzeichnet die Bedingung:
$E(f [mm] \circ [/mm] X [mm] \cdot g\circ [/mm] Y)=E(f [mm] \circ [/mm] X) [mm] \cdot E(g\circ [/mm] Y)$, [mm] ($\forall [/mm] f,g $ wie oben) die Unabhängigkeit von $X$, $Y$. |
zu zeigen ist also (per Definition der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen) aus $E(f [mm] \circ [/mm] X [mm] \cdot g\circ [/mm] Y)= E(f [mm] \circ [/mm] X) [mm] \cdot E(g\circ [/mm] Y)$ folgt: [mm] $P(\sigma(X) \cap \sigma(Y))=P(\sigma(X)) \cdot P(\sigma(Y))$ [/mm] wobei [mm] $\sigma(X)=X^{-1}(A)=\{X \in A\}$, [/mm] ($A$ ist aus Borelmengen).
Wie zeige ich das nun? Wie kann ich also von Erwartungswerten zu Wahrscheinlichkeiten kommen?
Dies ist Aufgabe 1 auf Seite 57 in Wahrscheinlichkeitstheorie (Heinz Bauer).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Falls solche Aufgabe bereits besprochen, einfach auf das entsprechende Forum verweisen.
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Tja nix neues ? ... wie geasagt, ich stehe aufm Schlauch hier, bräuchte mal einen Tipp.
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Wenn bereits, mittels Algebräischer-Induktion gezeigt wurde, dass für unabhängige ZV Z und W die Gleichung E(ZW)=E(Z)E(W) gilt. Dann existiert nach dem Faktorisierungssatz eine Zerlegung der Form [mm] Z=f\circ [/mm] X und [mm] W=g\circ [/mm] Y.
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die Unabhängigkeit ist ja zu zeigen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Reduktion |
Ich verstehe die Aufagabe so; das Resultat das E(XY)=E(X)E(Y) äquivalent zu X und Y sind unabhängig, wird als bekannt vorrausgestzt. Nun soll das auch für [mm] f\circ\ [/mm] Z und [mm] g\circ\ [/mm] W gelten. Falls nun eine Zerlegung [mm] X=f\circ\ [/mm] Z und [mm] Y=g\circ\ [/mm] W existiert, wobei E(XY)=E(X)E(Y) erfüllt ist, dann würde das doch die Unabhängigkeit gekennzeichnen. Kann sein das ich falsch liege.
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nein, aus E(XY)=E(X)E(Y) folgt NICHT die Unabhängigkeit von X, Y.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Reduktion |
Ah verstehe es ist nicht äquivalent, dann könnte man den Nachweis über Algebräische-Induktion versuchen.
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Hiho,
du hast natürlich recht, dass aus $E[XY] = E[X]E[Y]$ nicht automatisch die Unabhängigkeit folgt.
Allerdings ist deine Notation auch falsch, was die Unabhängigkeit angeht:
> [mm]P(\sigma(X) \cap \sigma(Y))=P(\sigma(X)) \cdot P(\sigma(Y))[/mm]
> wobei [mm]\sigma(X)=X^{-1}(A)=\{X \in A\}[/mm], ([mm]A[/mm] ist aus Borelmengen).
Was soll denn das Maß einer Sigma-Algebra sein?
Und die Gleichheit [mm]\sigma(X)=X^{-1}(A)=\{X \in A\}[/mm] ist nun auch auch nicht wirklich korrekt!
Daher: Schreib das mal bitte nochmal sauber auf.
Und dann als Tipp fürs Lösen der Aufgabe: Wähle f und g mal als geeignete Indikatorfunktionen, dann steht es faktisch schon da.
MFG;
Gono.
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ja das mit den vernünftigen Mengen werde ich schon hinkriegen, es steht eigentlich im Buch von Bauer, wie man die Erzeuger der sigma-algebren dazu benutzt, ... , ein W.Maß auf sigma-algebren ist natürlich nicht sauber ...
... die eigentliche Frage ist ja , was meinste mit speziellen Indikatorfunktionen?... denn mit normalen Indikatorfunktionen steht die Bahauptung ja direkt da.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
warum änderst du einfach den Status der Frage auf unbeantwortet?
Zumindest eine Mitteilung dazu wäre angebracht und ist den Leuten, die dir (qualifiziert!) antworten unhöflich gegenüber!
MFG,
Gono.
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naja, ich war weg für paar tage., aber die Frage is für mich noch nicht follständig beantwortet.,., bin zur zeit mitten im Unzugm, hab also keine zeit in dieser Woche mich um diese Aufgabe zu kümmern.,,. aber wie gesagt, is ja net so, dass die frage voll und ganz beantwortet ist
,.,.,.aber natürlich danke für deine tipps.> Hiho,
>
> warum änderst du einfach den Status der Frage auf
> unbeantwortet?
> Zumindest eine Mitteilung dazu wäre angebracht und ist
> den Leuten, die dir (qualifiziert!) antworten unhöflich
> gegenüber!
>
> MFG,
> Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
die Frage wird dir auch niemand direkt beantworten, dazu bedarf es schon Mithilfe deinerseits. Du wirst hier allenfalls gute Hinweise bekommen. Und wie du ja selbst schon festgestellt hast, bedarf es nur einfacher Indikatorfunktionen für f und g, dann steht es faktisch schon da.
Das saubere Aufschreiben obliegt aber dir, du kannst es aber gern zum Korrekturlesen hier nochmal posten.
MFG,
Gono.
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