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Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:38 Do 23.05.2013
Autor: ConstantinJ

Aufgabe
Sei n [mm] \in \IN [/mm] und sei X eine Zufallsvariable mit Werten in [mm] [-n,n]\cap\IZ, [/mm] so dass P(X=k)=P(X=-k)
für alle k [mm] \in \IN [/mm] gilt. Außerdem sei Y = [mm] aX^2 [/mm] +b mit a,b [mm] \in \IR. [/mm]
Sind X und Y unabhängig bzw. unkorreliert?

X: [mm] \Omega \to [/mm] {-n,...,n}
Unkorr.:
zz.: Cov(X,Y)=0 [mm] \gdw [/mm] E[XY]= E[X]E[Y]

E[X] = [mm] \summe_{\omega \in \Omega}^{} X(\omega)*P({\omega}) [/mm]
[mm] =\summe_{k=-n}^{n} [/mm] k * P({X=k}) = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k * P({X=k}) + [mm] \summe_{k=0}^{-n} [/mm] k * P({X=k}) =
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k * P({X=k}) - [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k * P({X=k})n = 0


Da Y = [mm] aX^2 [/mm] +b [mm] \Rightarrow [/mm]
E[XY] = E [mm] [X(aX^2+b)] [/mm] = [mm] a*E[X^3] [/mm] + b*E[X] (=0)
= a* [mm] \summe_{k=-n}^{n} k^3 [/mm] * [mm] P({X^3=k^3}) [/mm] = 0
(wegen Symmetrie von [mm] X^3, [/mm] wie oben)

E[X]=0 [mm] \Rightarrow [/mm] E[X]*E[Y]=0= E[YX]
[mm] \Rightarrow [/mm] X,Y sind unkorreliert.

Bin mir hierbei nicht wirklich sicher.

Bei der Unabhängigkeit weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll.
Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Grüße
ConstantinJ





        
Bezug
Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:25 Do 23.05.2013
Autor: luis52

Moin Constantin

> Bin mir hierbei nicht wirklich sicher.

Alles [ok]

>
> Bei der Unabhängigkeit weiß ich nicht, wie ich vorgehen
> soll.
>

Hier genuegt ein (moeglichst euinfaches) Gegenbeispiel.

vg Luis

Bezug
                
Bezug
Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 Do 23.05.2013
Autor: ConstantinJ

Zu dem Gegenbeispiel:

Wähle n=1:
[mm] \Rightarrow [/mm] X: {-1,0,1} [mm] \to [/mm] {-1,0,1}, k [mm] \mapsto [/mm] k
[mm] \Rightarrow [/mm] Y: {-1,0,1} [mm] \to [/mm] {0,1}, k [mm] \mapsto k^2 [/mm] (a=1,b=0)
Setze: P({-1}) = P({1})= 1/4 ; P({0})=1/2
Die Bed. sind erfüllt.
P({X=1} [mm] \cap [/mm] {Y=1}) = P({1} [mm] \cap [/mm] {-1,1}) = P({1}) = 1/2
P({X=1}) * P({Y=1}) = P({1})* P({-1,1}) = 1/4 * 1/2 = 1/8
Damit: P({X=x} [mm] \cap [/mm] {Y=y}) [mm] \not= [/mm] P({X=x}) * P({Y=y})  (im Allg.)
[mm] \Rightarrow [/mm] X,Y nicht unabh.

Bezug
                        
Bezug
Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Do 23.05.2013
Autor: luis52

Bis auf einige formale Unwuchten okay.

vg Luis

Bezug
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