Unabhängigkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Fry |
Folgende Frage:
[mm] X_1,..,X_n,X_{n+1},...,X_m [/mm] sollen stochastisch unabhängige Zufallsvariablen sein.
Warum gilt dann, dass auch [mm] X^{2}_1*...*X^{2}_n [/mm] und [mm] X_{n+1}*...*X_m [/mm] stochastisch unabhängig sind?
Kenne z.B.den Satz"X,Y,...st.u => f(X),g(Y),...st.u., falls f,g,...stetig sind" (den kann man sicher noch erweitern)
Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, wie man auf das Ergebnis kommt (Einzelschritte...)
Vielen Dank schonmal!
Viele Grüße
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Mo 31.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Folgende Frage:
> [mm]X_1,..,X_n,X_{n+1},...,X_m[/mm] sollen stochastisch
> unabhängige Zufallsvariablen sein.
> Warum gilt dann, dass auch [mm]X^{2}_1*...*X^{2}_n[/mm] und
> [mm]X_{n+1}*...*X_m[/mm] stochastisch unabhängig sind?
>
> Kenne z.B.den Satz"X,Y,...st.u => f(X),g(Y),...st.u., falls
> f,g,...stetig sind" (den kann man sicher noch erweitern)
> Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, wie man auf das
> Ergebnis kommt (Einzelschritte...)
>
![[]](/images/popup.gif) Stochstische Unabhängigkeit
Etwa so:
Seien X und Y unabhängige ZV auf einem W-Raum in zwei Meßräume und f und g wiederum meßbare Abbildungen auf diesen in einen weiteren Meßraum:
[mm](\Omega,\mathcal{A},P)\rightarrow^X (E_1,\mathcal{B}_1)\rightarrow^f (E,\mathcal{B})\leftarrow^g (E_2,\mathcal{B}_2)\leftarrow^Y(\Omega,\mathcal{A},P)[/mm]
Dann sollte Nachfolgendes erlaubt sein.
[mm]P(\{g(X)\in A\}\cap\{f(Y)\in B\})=P(\{X\in g^{-1}(A)\}\cap\{Y\in f^{-1}(B)\})=P(X^{-1}(g^{-1}(A))\cap Y^{-1}(f^{-1}(B)))[/mm]
[mm]=P(X^{-1}(g^{-1}(A)))*P(Y^{-1}(f^{-1}(B)))=P(\{g(X)\in A\})*P(\{f(Y)\in B\})[/mm]
LG
gfm
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