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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | A,B,C, und D seien beliebige Ereignisse.
A,B,C,D seien unabhängig. Welche Ereignisse sind dann nicht stets unabhängig.
a) A [mm] \cap [/mm] B und B [mm] \cap [/mm] C
b) A und B [mm] \cap [/mm] C
c) A \ D und [mm] \overline{B} [/mm] |
Hallo,
ich habe
a) P (A [mm] \cap [/mm] B | B [mm] \cap [/mm] C) = P (A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) / P (B [mm] \cap [/mm] C) = P(A)
Hier also nicht unabhängig!
b) P (A | B [mm] \cap [/mm] C) = P (A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) / P (B [mm] \cap [/mm] C) = P(A)
Hier unabhängig!
c) P (A \ D | [mm] \overline{B}) [/mm] = P (A \ D [mm] \cap \overline{B}) [/mm] / P [mm] (\overline{B}) [/mm] = P(A \ D)
Hier unabhängig!
Ist das wohl so richtig argumentiert?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Mo 25.08.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin, du unterstellst bei allen Argumenten, dass die Nenner der bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht Null sind. So kannst du das nicht beweisen.
Im ersten Fall ist zu zeigen: $P ((A [mm] \cap B)\cap( [/mm] B [mm] \cap [/mm] C))=P (A [mm] \cap B)\cdot [/mm] P( B [mm] \cap [/mm] C)$. Dazu musst du ausnutzen, was es bedeutet, dass die Ereignisse $A,B,C,D$ unabhaengig sind. Naemlich was?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Mathics |
> Im ersten Fall ist zu zeigen: [mm]P ((A \cap B)\cap( B \cap C))=P (A \cap B)\cdot P( B \cap C)[/mm].
> Dazu musst du ausnutzen, was es bedeutet, dass die
> Ereignisse [mm]A,B,C,D[/mm] unabhaengig sind. Naemlich was?
Das heißt dann P (A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C [mm] \cap [/mm] D) = P(A)*P(B)*P(C)*P(D). Aber wie hilft mir das weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mo 25.08.2014 | | Autor: | luis52 |
> > Im ersten Fall ist zu zeigen: [mm]P ((A \cap B)\cap( B \cap C))=P (A \cap B)\cdot P( B \cap C)[/mm].
> > Dazu musst du ausnutzen, was es bedeutet, dass die
> > Ereignisse [mm]A,B,C,D[/mm] unabhaengig sind. Naemlich was?
>
> Das heißt dann P (A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C [mm]\cap[/mm] D) =
> P(A)*P(B)*P(C)*P(D). Aber wie hilft mir das weiter?
Gar nichts, denn das ist falsch. Unabhaengigkeit bedeutet, dass fuer *jede* Teilmenge von [mm] $\{A,B,C,D\}$ [/mm] obige Formel sinngemaess gilt. Z.B. ist [mm] $P(A\cap C)=P(A)\cdot [/mm] P(C)$ oder [mm] $P(A\cap C\cap D)=P(A)\cdot P(C)\cdot [/mm] P(D)$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Di 26.08.2014 | | Autor: | Mathics |
> > Das heißt dann P (A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C [mm]\cap[/mm] D) =
> > P(A)*P(B)*P(C)*P(D). Aber wie hilft mir das weiter?
> Gar nichts, denn das ist falsch. Unabhaengigkeit bedeutet,
> dass fuer *jede* Teilmenge von [mm]\{A,B,C,D\}[/mm] obige Formel
> sinngemaess gilt. Z.B. ist [mm]P(A\cap C)=P(A)\cdot P(C)[/mm] oder
> [mm]P(A\cap C\cap D)=P(A)\cdot P(C)\cdot P(D)[/mm].
>
Ich bin jetzt etwas verwirrt, denn in unserer Formelsammlung steht wenn A1, A2, A3, A4 unabhängig sind, dann gilt: P(A1 [mm] \cap [/mm] A2 [mm] \cap [/mm] A3 [mm] \cap [/mm] A4) = P(A1)*P(A2)*P(A3)*P(A4)
LG
Mathics
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Hallo,
> > > Das heißt dann P (A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C [mm]\cap[/mm] D) =
> > > P(A)*P(B)*P(C)*P(D). Aber wie hilft mir das weiter?
>
> > Gar nichts, denn das ist falsch. Unabhaengigkeit bedeutet,
> > dass fuer *jede* Teilmenge von [mm]\{A,B,C,D\}[/mm] obige Formel
> > sinngemaess gilt. Z.B. ist [mm]P(A\cap C)=P(A)\cdot P(C)[/mm] oder
> > [mm]P(A\cap C\cap D)=P(A)\cdot P(C)\cdot P(D)[/mm].
> >
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> Ich bin jetzt etwas verwirrt, denn in unserer
> Formelsammlung steht wenn A1, A2, A3, A4 unabhängig sind,
> dann gilt: P(A1 [mm]\cap[/mm] A2 [mm]\cap[/mm] A3 [mm]\cap[/mm] A4) =
> P(A1)*P(A2)*P(A3)*P(A4)
>
Das steht in keinem Widerspruch zur Definition.
Das was du schreibst ist eine Folgerung (Implikation) oder auch notwendige Bedingung. "wenn, ... dann"
Die Bedingung ist aber nicht hinreichend, sprich der Begriff der Unabhängigkeit einer Menge verlangt noch mehr, nämlich die Def. die luis52 schrieb.
> LG
> Mathics
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