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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Sa 12.12.2015 | | Autor: | KeinGuru |
| Aufgabe | | X sei gleichverteilt auf dem Intervall [-1,1] und [mm] Y=X^2. [/mm] Zeige, dass [mm] \sigma_{X,Y} [/mm] = 0 ist, aber X und Y nicht unabhängig sind. |
Mein Problem/ Ansatz: Berechne zuerst die Kovarianz mit
[mm] \sigma_{X,Y} [/mm] = E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)
nach Definition aus der Vorlesung. Ich scheitere nun bei der Berechnung von E(XY).
Für E(X) und E(Y) weiß ich ja, dass X,Y gleichverteilt ist, also gilt E(X)=(a+b)/2, und E(Y)=(a+b)/2. Wenn mir jemand E(XY) erklären könnte, wäre das super.
Außerdem weiß ich nicht, wie ich widerlegen sollte, dass X,Y unabhängig voneinander sind? Wie komme ich hier zu einem Gegenbeispiel?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Für E(X) und E(Y) weiß ich ja, dass X,Y gleichverteilt ist
Nein. Y ist ganz sicher nicht gleichverteilt.
Es ist $Y = [mm] X^2$ [/mm] und nicht $Y=X$.
Offensichtlich ist die Verteilung von X bekannt und damit auch die von [mm] $Y=X^2$ [/mm] und die von $XY = [mm] X^3$
[/mm]
Letzendlich musst du also nur die Erwartungswerte $E[X]$, [mm] $E[X^2]$ [/mm] und [mm] $E[X^3]$ [/mm] ausrechnen.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Sa 12.12.2015 | | Autor: | KeinGuru |
ok, stimmt, Y ist nicht gleichverteilt.
Jetzt weiß ich trotzdem nicht genau, wie ich den Erwartungwert für $E(X)$ ausrechne, wenn ich nur ein Intervall habe?
Normalerweise rechnet man ja
$E(X) = [mm] \sum [/mm] k * [mm] p_k$
[/mm]
wobei [mm] p_k [/mm] die Wahrscheinlichkeit von $k$ ist . Wie ist das, wenn ich nur ein Intervall [-1;1] habe? Wenn ich weiß, das X gleichverteilt ist, kann ich die Formel $(a+b)/2$ nutzen. Aber wie würde es im Allgemeinen Fall für [mm] $E(X^2)$ [/mm] oder [mm] $E(X^3)$ [/mm] aussehen?
Außerdem weiß ich noch immer nicht, wie ich dann weitermache: Aus der Berechnung erhalte ich $0$, aber wie konstruier ich dann ein Gegenbeipsiel um zu zeigen, dass sie abhängig sind?
Danke.
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Hiho,
> ok, stimmt, Y ist nicht gleichverteilt.
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> Jetzt weiß ich trotzdem nicht genau, wie ich den
> Erwartungwert für [mm]E(X)[/mm] ausrechne, wenn ich nur ein
> Intervall habe?
> Normalerweise rechnet man ja
>
> [mm]E(X) = \sum k * p_k[/mm]
Was ist "normalerweise"?
Das ist nur für den Speziallfall, dass du eine diskrete Zufallsvariable hast. Da ist nix "normal" sondern sehr speziell.
> Wie ist das, wenn ich nur ein Intervall [-1;1] habe?
Ihr hattet garantiert die Definition eines Erwartungswertes für eine beliebige bzw. stetige Zufallsvariable.
Nachschlagen und Definitionen kennen ist die halbe Miete!
> Wenn ich weiß, das X gleichverteilt ist, kann ich die Formel [mm](a+b)/2[/mm] nutzen. Aber wie würde es im Allgemeinen Fall für [mm]E(X^2)[/mm] oder [mm]E(X^3)[/mm] aussehen?
Schlage die Definition des Erwartungswerts nach. Insbesondere hattet ihr garantiert auch Aussagen darüber, wie sich Erwartungswerte der Form E[f(X)] für eine meßbare Funktionen f berechnen lassen!
> Außerdem weiß ich noch immer nicht, wie ich dann
> weitermache: Aus der Berechnung erhalte ich [mm]0[/mm]
Das würde mich jetzt überraschen. Wie hast du denn [mm] $E[X^3]$ [/mm] berechnet, wenn du nicht weißt, wie es geht?
Gruß,
Gono
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