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| Aufgabe | | [mm] x^2-xy+y^2=9 [/mm] |
Ich dreh gleich durch... Ich bin ernsthaft gerade nicht in der Lage nach y aufzulösen...
Ich hatte folgendes gemacht:
[mm] y^2= 9-x^2+xy
[/mm]
[mm] y^2=-x^2+xy+9
[/mm]
Dann hab ich durch y geteilt
[mm] \bruch{y^2}{y}= -x^2+x+9
[/mm]
y= [mm] -x^2+x+9
[/mm]
Stimmt das?
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Hallo Tigerbaby,
das stimmt so nicht:
> [mm]x^2-xy+y^2=9[/mm]
> Ich dreh gleich durch... Ich bin ernsthaft gerade nicht in
> der Lage nach y aufzulösen...
>
> Ich hatte folgendes gemacht:
> [mm]y^2= 9-x^2+xy[/mm]
> [mm]y^2=-x^2+xy+9[/mm]
>
> Dann hab ich durch y geteilt
> [mm]\bruch{y^2}{y}= -x^2+x+9[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
du musst die gesamte rechte Seite durch $y$ teilen
> y= [mm]-x^2+x+9[/mm]
>
> Stimmt das?
Leider nicht :(
Bringe alle Terme mit "y" auf die linke, alle ohne "y" auf die rechte Seite und mache eine quadratische Ergänzung:
[mm] $x^2-xy+y^2=9\qquad\mid -x^2 [/mm] \ $ auf beiden Seiten
[mm] $\gdw y^2-xy=9-x^2\qquad\mid [/mm] $ quadr. Ergänzung
[mm] $\gdw \left(y-\frac{1}{2}x\right)^2-\frac{1}{4}x^2=9-x^2\qquad\mid +\frac{1}{4}x^2$ [/mm] auf beiden Seiten
[mm] $\gdw \left(y-\frac{1}{2}x\right)^2=9-\frac{3}{4}x^2\qquad\mid \sqrt{...}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y-\frac{1}{2}x=\pm\sqrt{9-\frac{3}{4}x^2}\qquad\mid +\frac{1}{2}x\ [/mm] $ auf beiden Seiten
[mm] $\gdw y=\frac{1}{2}x\pm\sqrt{\frac{36}{4}-\frac{3}{4}x^2}$
[/mm]
[mm] $\gdw y=\frac{1}{2}x\pm\sqrt{\frac{36-3x^2}{4}}$
[/mm]
[mm] $\gdw y=\frac{x\pm\sqrt{36-3x^2}}{2}$
[/mm]
Alternativ kannst du die Gleichung in die Form [mm] $y^2+py+q=0$ [/mm] bringen und mit der p/q-Formel verarzten:
[mm] $x^2-xy+y^2=9$
[/mm]
[mm] $\gdw y^2+\red{(-x)}y+\blue{(x^2-9)}=0$
[/mm]
Nun mit der p/q-Formel drauf los, wobei [mm] $p=\red{-x}$ [/mm] und [mm] $\blue{q=x^2-9}$ [/mm] ist
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Steigung der Tangenten in den Punkten, in welchen der Graph der Gleichung [mm] x^2-xy+y^2=9 [/mm] die y-Achse schneidet. Zeigen Sie das die Tangenten parallel sind |
Danke für die Antwort, aber ich komm nicht ganz klar damit..... Die quadratische Ergänzung läuft mir nicht rein.. Wie kommst du da drauf?
Dann zu der Fragestellung oben.. Ich seh das doch richtig, dass ich die Gleichung nach y auflöse und dann mit Hilfe der pq-Formel die Nullstellen berechne. Dafür brauch ich doch noch keine Ableitung oder? Dann muss ich die Tangentengleichung in diesen beiden Punkten berechnen.. Da weiß ich noch nicht ganz genau wie.. Und wenn beide Tangenten die selbe Steigung haben sind sie parallel.. Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tigerbaby!
Um die Schnittstellen der Funktion mit der y-Achse zu berechnen, brauchst Du lediglich $x \ = \ 0$ einsetzen und nach $y \ = \ ...$ auflösen.
Anschließend benötigst Du dann die Tangentensteigung, indem Du zuvor die Funktion implizit abgeleitet hast.
Und ja: gleiche Steigungen bedeutet auch Parallelität.
Gruß
Loddar
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Das heißt meine Nullstellen wären 3/0 und -3/0
Sag jetzt nicht, dass das tatsächlich so einfach ist.... dann denk ich anscheinend ab und ab zu kompliziert.....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tigerbaby!
Ja, das sind die beiden gesuchten Schnittpunkte mit der y-Achse!
Gruß
Loddar
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Ableiten der Funktion: Um die Funktion abzuleiten muss ich sie dafür nach y auflösen? Wenn ja, dann bin ich wieder bei meinem ersten Problem...... nach y auflösen bekomm ich überhaupt nicht hin..... Und die Hilfe hier war gut, aber ich versteh die quadratische ergänzung immer noch nicht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tigerbaby!
Kennst Du die Methode des impliziten Differenzierens? Dafür brauchst Du die Funktionsvorschrift nicht nach $y \ = \ ...$ umstellen, sondern leitest auf beiden Seiten der Gleichung ab.
allerdings musst Du bei jedem $y_$-Term noch die jeweilige innere Ableitung $y'_$ berücksichtigen.
Beispiel: [mm] $x*y^2 [/mm] \ = \ 0$ ergibt beim impliziten Differenzieren ( Produktregel anwenden!):
[mm] $$1*y^2+x*2y*y' [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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Das kenn ich nicht...glaube ich...... kann ich jetzt [mm] x^2-xy+y^2=9 [/mm] direkt so ableiten? Ist das dann:
2x-1*y+x*1*y´+2y*y´
Und wenn das so stimmen sollte, wie muss ich dann weiter machen? Irgendwie verwirrt mich das grad alles...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tigerbaby!
> 2x-1*y+x*1*y´+2y*y´
Fast ... zum einen muss es auch $... \ = \ 0$ heißen. Und du machst einen kleinen Vorzeichenfehler:
$$2x-1*y \ [mm] \red{-} [/mm] \ x*y'+2y*y' \ = \ 0$$
Und nun kannst Du für die beiden ermittelten Punkte die Werte $x_$ und $y_$ einsetzen sowie anschließend nach $y' \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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Gut, dann war ich immerhin nicht ganz so falsch.... sehe ich das richtig, dass die kompletten y rausfallen, da ja null....
das heißt einmal kommt 6 und einmal -6 raus..... Aber wenn das die Steigungen sind, dann sind die beiden Tangenten nicht parallel...........
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tigerbaby!
Wegen $x \ = \ 0$ fallen hier jeweils die $x_$-Werte raus. Für $y_$ musst Du $+3_$ oder $-3_$ einsetzen.
Gruß
Loddar
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Ieekk.... logisch... dann kommt bei Beiden 3/6 = y´ raus.... und das sind dann die Tangentensteigungen.... Und da die beiden gleich sind, sind die Tangenten parallel.
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Hab ja nun für Beides 0,5 raus... also Steigung 0,5 und daher parallel...
Nun nochmal zu meinem Verständnis... Mittels der Ableitung kann ich also die Tangentensteigung berechnen.... In die Ableitung wird der Punkt in dem ich die Steigung berechnen soll eingesetzt und nach y´aufgelöst.... und dieser Wert ist die Steigung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tigerbaby!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
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