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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Umschreiben & Gleichung lösen
Umschreiben & Gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Umschreiben & Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 So 10.02.2013
Autor: Apfelchips

Aufgabe
Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form [mm]a+ib[/mm] mit [mm]a,b \in \IR[/mm]

a) [mm]\frac{1}{7+3i}[/mm]

b) [mm]\frac{2-3i}{2+3i}[/mm]

und lösen Sie die folgende Gleichung in [mm]\IC[/mm]:

c) [mm]4z^2 - 20z - 11 = 0[/mm]



Hallo zusammen,

wir haben mit dem Thema komplexe Zahlen gerade erst angefangen. Ich würde mich freuen, wenn Ihr Euch meine Lösungen einmal anschauen könntet (und mitteilt, ob das soweit stimmt):

[mm]z := x+yi[/mm] , [mm]i^2 := -1[/mm]

a) [mm]\frac{1}{7+3i} = \frac{1(7-3i)}{(t+3i)(7-3i)} = \frac{7-3i}{49-i^2} = \frac{7-3i}{50} = \frac{7}{50} - \frac{3}{50}i[/mm]

b) [mm]\frac{2-3i}{2+3i} = \frac{(2-3i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)} = \frac{4-6i-6i+9i^2}{4-6i+6i-9i^2} = \frac{-5-12i}{13} = -\frac{5}{13} - \frac{12}{13}i[/mm]

c)

[mm]4z^2 - 20z - 11 = 0[/mm]

[mm]4(x^2+2xyi+yi^2) - 20x - 20yi - 11 = 0[/mm]

[mm]4x^2 + 8xyi - 4y - 20x - 20yi - 11 = 0[/mm]

[mm](4x^2-4y-20x) + i(8+y-20y) = 11[/mm]

Hier komme ich leider nicht weiter. Wie muss ich nun weiter vorgehen?


Vielen Dank für Eure Bemühungen!

Beste Grüße
Patrick

        
Bezug
Umschreiben & Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 So 10.02.2013
Autor: MathePower

Hallo Apfelchips,

> Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form
> [mm]a+ib[/mm] mit [mm]a,b \in \IR[/mm]
>  
> a) [mm]\frac{1}{7+3i}[/mm]
>  
> b) [mm]\frac{2-3i}{2+3i}[/mm]
>  
> und lösen Sie die folgende Gleichung in [mm]\IC[/mm]:
>  
> c) [mm]4z^2 - 20z - 11 = 0[/mm]
>  
>
> Hallo zusammen,
>  
> wir haben mit dem Thema komplexe Zahlen gerade erst
> angefangen. Ich würde mich freuen, wenn Ihr Euch meine
> Lösungen einmal anschauen könntet (und mitteilt, ob das
> soweit stimmt):
>  
> [mm]z := x+yi[/mm] , [mm]i^2 := -1[/mm]
>  
> a) [mm]\frac{1}{7+3i} = \frac{1(7-3i)}{(t+3i)(7-3i)} = \frac{7-3i}{49-i^2} = \frac{7-3i}{50} = \frac{7}{50} - \frac{3}{50}i[/mm]
>


Hier muss doch stehen:

[mm]\frac{1}{7+3i} = \frac{1(7-3i)}{(\blue{7}+3i)(7-3i)} = \frac{7-3i}{49-\left(\blue{3}i\right)^2}[/mm]


> b) [mm]\frac{2-3i}{2+3i} = \frac{(2-3i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)} = \frac{4-6i-6i+9i^2}{4-6i+6i-9i^2} = \frac{-5-12i}{13} = -\frac{5}{13} - \frac{12}{13}i[/mm]
>  


[ok]


> c)
>
> [mm]4z^2 - 20z - 11 = 0[/mm]
>  
> [mm]4(x^2+2xyi+yi^2) - 20x - 20yi - 11 = 0[/mm]

>


Hier muss es doch lauten:

[mm]4(x^2+2xyi+\left\blue{(}yi\right\blue{)}^2) - 20x - 20yi - 11 = 0[/mm]

  

> [mm]4x^2 + 8xyi - 4y - 20x - 20yi - 11 = 0[/mm]
>  
> [mm](4x^2-4y-20x) + i(8+y-20y) = 11[/mm]
>  
> Hier komme ich leider nicht weiter. Wie muss ich nun weiter
> vorgehen?
>  


Vergleiche nun Real-und Imaginärteil dieser Gleichung.


>
> Vielen Dank für Eure Bemühungen!
>  
> Beste Grüße
>  Patrick


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Umschreiben & Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Mo 11.02.2013
Autor: fred97

Zu c):

Das Lösen einer quadratischen Gleichung in [mm] \IC [/mm] funktioniert ebenso mit der "Mitternachtsformel", "abc- Formel", "pq- Formel", .....


FRED

Bezug
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