Umkehrfunktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe mathefreunde,
ich hab hier so ne Aufagbe und weiß nich weiter:
x= u-1/u+1
i) Zeigen Sie das doe Funktion f(u) im Bereich u> -1 streng monoton wachsend (und damitr umkehrbar ist)
ii) berechnen sie die Funktionswerte f(1), f(4), f(9). Wie lauten die Werte f^-1(0), f^-1(1/2), f^-1(4/5) der Umkehrung u=f^-1 (x)?
iii) Bestimmen sie die umkehrfunktion u= f^-1(x) und ihr Ableitung (f^-1)'(x)
So mein frage ist nun wie ich auf die umkehrfunktion komme ich weiß zwar was ich machen muss krieg es aber nich hin, meine ansätze:
i) durch einsetzen von beliegen zahlen uund da für u nur ein y-wert exsitiert (da u>-1) ist die funktion umkehrbar
ii)erster Teil w-werte einsetzten und ausrechnen
zweiter Teil ich muss ja erst die umkehrfunktion berchen um die x-werte einzusetzen!
Umkehrfunktion gleichung nach u auflösen und dann u und f(u) vertauschen : aber das bekomme ich einfach nich hin, ich weiß nich was ich machen soll!
und wenn ich dann die ableitung davon machen soll mach ich das doch normal wier bei jeder anderen funktion auch oder?
Würd mich freuen wenn mir jemand helfen könnte
lg, karsten
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Hallo Karsten,
mache es dir mit dem Nachweis des strengen monot. Wachstums nicht zu schwer 
f ist streng monoton wachsend, wenn f'(u)>0 ist.
Bilde also mal die Ableitung f'(u) und schaue, ob die wohl für u>-1 stets >0 ist
Zur Berechnung von [mm] f^{-1}
[/mm]
[mm] w=f(u)=\frac{u-1}{u+1}
[/mm]
Variablentausch w <---> u
[mm] u=\frac{w-1}{w+1} [/mm] auf beiden Seiten [mm] \cdot{}(w+1) [/mm] Achtung: [mm] w\ne [/mm] -1
u(w+1)=w-1 ausmultiplizieren
uw+u=w-1 w und u jeweils auf die andere Seite bringen
uw-w=-1-u w ausklammern
w(u-1)=-(u+1)
Den Rest machst du...
Was ist mit dem Definitionsbereich von [mm] f^{-1} [/mm] ?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Mo 10.09.2007 | | Autor: | Karsten84 |
Danke schachuzipus
mir ist grad mein denkfehler aufgefallen!ich denke ich weiß jetzt wie ich die aufgabe lösen kann vielen vielen dank!!!!!!!!!
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Hi nochmal,
ich hatte vorhin mal die Graphen der Funktion und der UKF plotten lassen
und will sie dir nicht vorenthalten.
Du kannst ja dein Ergebnis daran kontrollieren
Ist übrigens mit "Funkyplot" gemacht, kannst ja mal nach googlen, ist
ein sehr nettes tool
LG und viel Erfolg weiterhin
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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genau das hab ich auch raus!
Nur bei der ableitung bin ich mir unsicher
hab ja die Funktion : u-1/u+1
F'(u)= 1
und von der umkehrfunktion F^-1(u)= - (u+1)/(u-1)
F^-1'(u)= -1
das kann ich mir einfach nich vorstellen!!!????
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Hallo Karsten,
[mm] $f^{-1}(u)=-\frac{u+1}{u-1}$ [/mm] ist richtig ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das kannst du doch mit der Quotientenregl ableiten:
[mm] $h(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\Rightarrow h'(x)=\frac{u'(x)\cdot{}v(x)-u(x)\cdot{}v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}$
[/mm]
Das musst du ja nicht im Kopf lösen, schreibe es einfach stur aus:
[mm] $\left(f^{-1}\right)'(u)=-\frac{(u+1)'\cdot{}(u-1)-(u+1)\cdot{}(u-1)'}{(u-1)^2}=....$
[/mm]
Den Rest schaffste...
Bis dann
schachuzipus
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