Umkehrfunktion und DB < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 So 24.04.2005 | | Autor: | pisty |
Hallo,
ich bin zur Zeit bei der Vorbereitung zur Prüfung ... und kämpfe mich jetzt schon einige Stunden mit dieser Aufgabe ...
Kann mir jemand einen Ansatz liefern, damit ich diese Aufgabe lösen kann ...
Bestimmung der Umkehrfunktion und des Definitionsbereiches:
-----------------------------------------------------------
[mm] {f\((x) = \wurzel{x-2}/ \wurzel{x+4}} [/mm] , x [mm] \ge [/mm] 2
Vielen Dank !
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 So 24.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo pisty
Ich nehme an, du bewegst dich in der reellen Zahlen, ja?
Ganz grob einmal ist das ja eine Abbildung [mm] $\IR \to \IR$.
[/mm]
Aber leider kann man nicht alle Reellen Zahlen einsetzen, um einen Funktionswert zu erhalten!
Darum sollte man schon den Definitionsbereich etwas untersuchen.
Wir schliessen einfach aus, was denn nicht in Frage kommt.
Da ist zunächst ein Bruch. Bei einem Bruch darf der Nenner nicht null sein!
Das führt schon mal zu $x [mm] \not [/mm] = -4$
Dann noch die Wurzeln: der Ausdruck unter einer Wurzel muss grössergleich null sein (unter meiner Annahme, die du leider ja nicht bekanntgegeben hast. Du siehst hier auch, wie wichtig das eigentlich wäre!)
Es muss also sein:
$x-2 [mm] \ge [/mm] 0$
oder $x [mm] \ge [/mm] 2$
Dann noch:
$x+4 [mm] \ge [/mm] 0$
oder $x [mm] \ge [/mm] -4$
Jetzt haben wir also drei Bedingungen.
Ich denke, du kommst jetzt selber drauf, dass der Definitionbereich folgender ist:
$x [mm] \in [2,\infty)$
[/mm]
Jetzt wissen wir für unsere Funktion also schon etwas mehr, wir kennen den Definitionsbereich.
Das gibt schon mal für $f_$: [mm] $[2,\infty) \to \IR$.
[/mm]
Nun die gleichen Betrachtungen für den Wertebereich. Das ist wichtig, weil wir ja eine Umkehrfunktion finden wollen!
Zunächst mal: weil die Wurzeln per Definition [mm] $\ge [/mm] 0$ sind, kommen als Funktionswerte nur positive Zahle (oder 0) in Frage.
Ist die Funktion nach oben beschränkt?
Um das herauszufinden, quadriere ich einfach mal:
[mm] $y^2=\bruch{x-2}{x+4}=1-\bruch{6}{x+4}$
[/mm]
Das ist also immer kleiner als 1 (x ist ja [mm] $\ge [/mm] 4$. Bei $x=4_$ hat die Funktion den Wert $0_$, und strebt mit $x_$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] gegen $1_$ (auch wenn du wieder die Wurzel ziehst).
So, damit haben wirs:
$f(x): [mm] [2,\infty) \to [/mm] [0,1)$
Die Umkehrfunktion müsste dann also dieses machen:
[mm] $f^{-1}(.): [/mm] [0,1) [mm] \to [2,\infty)$
[/mm]
Für die Bestimmung der Umkehrfunktion musst du ja nur die Gleichung
[mm] $y=\bruch{\wurzel{x-2}}{\wurzel{x+4}}$
[/mm]
nach x auflösen! 
Das Ergebnis ist dann aber für y-Werte zwischen 0 (inklusive) und 1 (exklusive) eingeschränkt.
So, ich hoffe, ich habe dir mit schon zu tiefen Ausführungen nicht den Spass am Selberknobeln genommen 
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
|
