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Umkehrfunktion linearer Abb.: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 So 15.03.2009
Autor: trouff

Aufgabe
Sei T eine lineare Abbildung [mm] \IR^{n} ->\IR^{n} [/mm]
T ist bijektiv.
Folgt daraus das die Umkehrfunktion [mm] T^{-1} [/mm] linear ist ?

Hallo liebe Mathefreunde.

Hier bin ich mal wieder mit einer Aufgabe, bei der ihr mir sagen könnt ob ich sie richtig gelöst habe. Ansosonsten bitte ich um Korrektur!

Danke im voraus!

Hier die Lösung:

Sei T: W -> V   W,V  [mm] \IR [/mm] ^{n}
w1,w2 [mm] \in [/mm] W [mm] \wedge [/mm] v1, v2 [mm] \wedge [/mm] V

T(w1 + w2) = T(w1) + T(w2) = v1 + v2 [mm] \in [/mm] V

[mm] T^{-1}(v1 [/mm] + v2) = [mm] T^{-1}(T(w1 [/mm] + w2)) = w1 + w2 [mm] \in [/mm] W

Sei [mm] \lambda \in \IR [/mm]
[mm] T^{-1} (\lambda [/mm] * v1) = [mm] T^{-1}(T(\lambda*w1))= \lambda [/mm] * w1 [mm] \in [/mm] W

-> [mm] T^{-1} [/mm] ist linear

Ist das so richtig?

Mfg trouff

        
Bezug
Umkehrfunktion linearer Abb.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 So 15.03.2009
Autor: pelzig

Ja, die Idee ist genau richtig. Aber die Reihenfolge ist wichtig:

1) Sei [mm] $w_1, w_2\in [/mm] W$ beliebig vorgegeben.
2) Dann gibt es [mm] $v_1,v_2\in [/mm] V$ mit [mm] $T(v_i)=w_i$ [/mm] (warum?)
3) Dann ist [mm] $T(w_1+w_2)=...=w_1+w_2$ [/mm]

und analog mit der Homogenität.

Gruß, Robert

Bezug
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