Umkehrfunktion auf Intervall < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 So 01.11.2009 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} x+4, & x\le-4 \\ -1/x, & -4
Skizzieren Sie f(x) und f(x)^-1 und geben Sie für f(x)^-1 eine Funktionsvorschrift an. |
Hi :)
Direkt zur sache: das Skizzieren war nicht so das Problem, allerdings hat die Funktion schonmal Sprünge.. Ist die Funktion somit überhaupt bijektiv und umkehrbar?
Denn injektiv ist f(x), aber auch surjektiv?
Die Umkehrfunktion (bzw die Teile) habe ich berechnet:
x-4
-1/x
[mm] \wurzel{\bruch{1-4x}{x}}
[/mm]
Aber auf welchen Intervallen? Bei der Umkehrfunktion tauschen D und W, wäre also z.B. bei x-4 [mm] D=]-\infty,0] [/mm] oder ist es gar [mm] \IR [/mm] (weil D von f(x) [mm] =]\infty,-4]??)
[/mm]
Was ist mit [mm] \IW [/mm] der Umkehrfunktion?
Wäre super, wenn jemand etwas Licht ins Dunkle bringen würde :)
Danke & Schöne Grüße
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Hallo!
> [mm]f(x)=\begin{cases} x+4, & x\le-4 \\ -1/x, & -4
>
> Skizzieren Sie f(x) und f(x)^-1 und geben Sie für f(x)^-1
> eine Funktionsvorschrift an.
> Hi :)
>
> Direkt zur sache: das Skizzieren war nicht so das Problem,
> allerdings hat die Funktion schonmal Sprünge.. Ist die
> Funktion somit überhaupt bijektiv und umkehrbar?
> Denn injektiv ist f(x), aber auch surjektiv?
Dass die Funktion Sprünge hat, tut der Bijektivität keinen Abbruch, höchstens der Stetigkeit (die hier wirklich an den zwei Übergangsstellen verletzt ist). Aber wenn du richtig auf deine Skizze schaust, wirst du feststellen, dass die Funktion auch surjektiv ist; jeder Wert [mm] \in \IR [/mm] wird genau einmal angenommen.
> Die Umkehrfunktion (bzw die Teile) habe ich berechnet:
>
> x-4
> -1/x
> [mm]\wurzel{\bruch{1-4x}{x}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber auf welchen Intervallen?
Also zunächst: Du hast dir doch eine Skizze gemacht, da kannst du doch schon gewisse Schlüsse draus ziehen, oder? Und gewisse Wagnisse machen, was den Definitionsbereich der neuen Teilfunktionen betrifft.
> Bei der Umkehrfunktion
> tauschen D und W, wäre also z.B. bei x-4 [mm]D=]-\infty,0][/mm]
> oder ist es gar [mm]\IR[/mm] (weil D von f(x) [mm]=]\infty,-4]??)[/mm]
Nein, [mm] $]-\infty,0]$ [/mm] ist richtig. Du musst immer den Wertebereich der "alten" Teilfunktionen von f(x) bestimmen, das ist dann gleichzeitig der Definitionsbereich der "neuen" Teilfunktionen von [mm] $f^{-1}(x)$.
[/mm]
Dank der Bijektivität tauscht sich nämlich einfach der Wertebereich und Definitionsbereich jeder Teilfunktion aus, wenn du die neuen Intervalle bestimmen willst.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Di 03.11.2009 | | Autor: | kappen |
Besten Dank, sind folgende Bereiche dann richtig?
$ [mm] f(x)=\begin{cases} x-4, & x\le0 \\ -1/x, & x\ge0,25 \\ \wurzel{\bruch{1-4x}{x}}, & 0>x\ge0,25\end{cases} [/mm] $
Danke für die Hilfe
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Hallo, 1. und 2. Teilfunktion ist ok, bei der 3. Teilfunktion überprüfe mal die Relationszeichen, die Zahlenwerte sind ok, du schreibst: x soll kleiner 0 sein und größer/gleich 0,25, geht schlecht, viel bleibt ja jetzt nicht, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Di 03.11.2009 | | Autor: | kappen |
omg :D
Aufm Blatt isses richtig rum ;) x soll natürlich größer als 0 und kleiner/gleich 0,25 sein.
Danke
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