Umkehrfunktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Do 26.01.2012 | | Autor: | Fee |
Hallo !
Ich frage mich, ob ich die Umkehrfunktion auch richtig verstanden habe :
Die Funktion y=x ist umkehrbar wenn nur ein x-Wert einem y-Wert zugeordnet ist.
Aber woran erkannt man, dass eine Funktion umkehrbar ist? Und warum sind streng monotone Funktionen auf jeden Fall umkehrbar ?
Ich danke euch !
Eure liebe Fee
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Hallo,
ich gehe mal von einem Kenntnisstand aus, der den in deinem Profil hinterlegten Infos entspricht (die Thematik ist kopmplizierter, als sie in der Schule dargestellt wird).
Eine Umkehrfunktion ordnet jedem y aus dem Wertebereich einer Funktion f auf eindeutige Art und Weise einen x-Wert zu, so dass y=f(x) gilt.
Dazu muss die Funktion jeden Wert ihres Wertebereichs auch annehmen. Man nennt diese Eigenschaft auch Surjektivität, im Rahmen der Schulmathematik ist sie i.d.R. gegeben, da man den Wertebereich grundsätzlich auf diejenigen y-Werte einschränmkt, die eine Funktion f auch tatsächlich annimmt.
Weiter kann man dem Wortteil Funktion in Umkehrfunktion entnehmen, dass sie, wie jede Funktion, eindeutig sein muss. Es darf also immer nur genau ein solches x aus dem Definitionsbereich geben, so dass y=f(x). Mit anderen Worten: für die Funktion f muss gelten, dass sie für zwei unterschiedliche x-Werte auch unterschiedliche Funktionswerte annehmen muss. Diese Eigenschaft nennt man auch Injektivität.
Eine Funktion, die diese beiden Eigenschaft hat, die also injektiv und surjektiv ist, nennt man bijektiv, und es gilt der
Satz: jede bijektive Funktion ist umkehrbar
Machen wir uns anschaulich klar, was dies für die Schulmathematik bedeutet: dort werden so gut wie ausschließlich stetige Funktionen betrachtet. Deren Schaubild kannst du zeichnen, ohne den Stift abzusetzen. Mache dir jetzt klar, dass bei einer solchen Funktion, wenn sie nicht streng monoton wäre, manche y-Werte mehrfach vorkommen müssen. Damit wäre eine solche Funktion nicht injektiv und somit insbesondere nicht umkehrbar.
Ich habe jetzt bewusst einen Kauderwelsch aus anschaulichen und exakten Formulierungen verwendet. Aber deine Frage zeigt eben auf interessante Art und Weise, wie unzulänglich doch die in der Schule verwendeten 'rein anschaulichen' Erklärungen mancher Begriffe sind, weil sie mehr verwirren als klären.
Gruß, Diophant
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