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| Aufgabe | Sei [mm] D=(0,\infty) [/mm] und die Funktion [mm] f:D\to\IR, f(x)=e^{\wurzel{x}+\wurzel{e}ln(x)} [/mm] gegeben.
(a) Berechnen Sie die Ableitung von f.
(b) Untersuchen Sie, ob f eine differenzierbare Umkehrfunktion [mm] f^{-1} :f(D)\to\IR [/mm] besitzt und bestimmen Sie gegebenenfalls [mm] (f^{-1})'(e). [/mm] |
Meine Lösung:
(a) [mm] f(x)=e^{\wurzel{x}+\wurzel{e}ln(x)}
[/mm]
Nach anwendung der Produkt- und Kettenregel bekomme ich:
$ [mm] f(x)'=e^{\wurzel{x}+\wurzel{e}ln(x)}*\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{2}\wurzel{e} [/mm] $
Hierbei habe ich $ [mm] \wurzel{e}ln(x) [/mm] $ nach der Produktregel abgeleitet:
f(x)= [mm] \wurzel{e}*ln(x) [/mm]
f(x)'= [mm] 0*ln(x)+\bruch{1}{x}*\wurzel{e} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}*\wurzel{e}
[/mm]
Ist meine Ableitung richtig?
(b) Nun habe ich mir überlegt, das f genau dann eine Umkehrfunktion besitzt, wenn f streng mononton steigend oder fallend ist.
Ich habe versucht zu zeigen, dass f streng monoton steigend ist mit:
[mm] f(x_1)
hieran bin ich leider gescheitert!
Wenn ich dies nun habe kann ich sagen, dass die Umkehrfunktion von f(x)'= [mm] \bruch{1}{f(x)'} [/mm] lautet und diese dann auf differenzierbarkeit untersuchen.
Nun Frage ich mich noch was [mm] (f^{-1}')(e) [/mm] bedeutet?
Gruß Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Do 01.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]D=(0,\infty)[/mm] und die Funktion [mm]f:D\to\IR, f(x)=e^{\wurzel{x}+\wurzel{e}ln(x)}[/mm]
> gegeben.
>
> (a) Berechnen Sie die Ableitung von f.
> (b) Untersuchen Sie, ob f eine differenzierbare
> Umkehrfunktion [mm]f^{-1} :f(D)\to\IR[/mm] besitzt und bestimmen Sie
> gegebenenfalls [mm](f^{-1})'(e).[/mm]
> Meine Lösung:
>
> (a) [mm]f(x)=e^{\wurzel{x}+\wurzel{e}ln(x)}[/mm]
> Nach anwendung der Produkt- und Kettenregel bekomme ich:
>
> [mm]f(x)'=e^{\wurzel{x}+\wurzel{e}ln(x)}*\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{2}\wurzel{e}[/mm]
>
> Hierbei habe ich [mm]\wurzel{e}ln(x)[/mm] nach der Produktregel
> abgeleitet:
> f(x)= [mm]\wurzel{e}*ln(x)[/mm]
> f(x)'= [mm]0*ln(x)+\bruch{1}{x}*\wurzel{e}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{x}*\wurzel{e}[/mm]
>
> Ist meine Ableitung richtig?
Vielleicht hast Du Dich nur verschrieben, aber die Ableitung lautet korrekt:
[mm]f'(x)=e^{\wurzel{x}+\wurzel{e}ln(x)}*(\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{x}\wurzel{e})[/mm]
>
> (b) Nun habe ich mir überlegt, das f genau dann eine
> Umkehrfunktion besitzt, wenn f streng mononton steigend
> oder fallend ist.
>
> Ich habe versucht zu zeigen, dass f streng monoton steigend
> ist mit:
> [mm]f(x_1)
> hieran bin ich leider gescheitert!
Probiers noch mal: die Wurzelfunktion, der Logarithmus und die Exponentialfunktion sin streng wachsend !
Die Monotonie nachzuweisen geht aber einfacher: ist denn nicht vielleicht $f'(x)>0 $ für jedes x>0 ???
>
> Wenn ich dies nun habe kann ich sagen, dass die
> Umkehrfunktion von f(x)'= [mm]\bruch{1}{f(x)'}[/mm] lautet
Da steht aber mächtiger Unsinn !!!
> und diese
> dann auf differenzierbarkeit untersuchen.
dafür gibt es Sätze !
>
> Nun Frage ich mich noch was [mm](f^{-1}')(e)[/mm] bedeutet?
Die Ableitung der Umkehrfunktion an der stelle e
FRED
>
> Gruß Julia
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Erst mal vielen Dank für die schnelle Hilfe, ich bin nun weiter gekommen bei der (b):
Auf ganz D gilt f(x)'>0 , hieraus folgt, dass f(x)' streng monoton wachsend ist auf D.
Nun habe ich in meinem Skript den folgenden Satz gefunden:
Es sei f [mm] \in [/mm] C(I) streng monoton und in [mm] x_0\in [/mm] I differenzierbar mit [mm] f'(x_0)\not=0. [/mm] Dann existiert die Umkerfunktion [mm] f^{-1}:f(1)\to\IR, [/mm] diese ist differenzierbar in [mm] y_0=f(x_0) [/mm] und es gilt: [mm] (f^{-1})'(y_0)=\bruch{1}{f'(x_0)}.
[/mm]
Dies auf mein f(x)' angewandt erhalte ich die Umkehrfunktion:
[mm] (f^{-1})'(y_0)=\bruch{1}{e^{\wurzel{x_0}+\wurzel{e}ln(x_0)}\cdot{}(\bruch{1}{2}x_0^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{x_0}\wurzel{e}) }
[/mm]
Stimmt das soweit?
Das dieses Umekrhfunktion wiederum differenzierbar ist sagt mir der Satz und nun suche ich nur noch:
$ [mm] (f^{-1}')(e) [/mm] $
Dies ist meinem Verständnis zufolge:
$ [mm] (f^{-1}')(e)=\bruch{1}{e^{\wurzel{e}+\wurzel{e}ln(e)}\cdot{}(\bruch{1}{2}e^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{e}\wurzel{e}) }$
[/mm]
Gruß Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Fr 02.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Erst mal vielen Dank für die schnelle Hilfe, ich bin nun
> weiter gekommen bei der (b):
>
> Auf ganz D gilt f(x)'>0 , hieraus folgt, dass f(x)' streng
> monoton wachsend ist auf D.
Nein! nicht f' ist streng monoton, sondern f !!!!!!
>
> Nun habe ich in meinem Skript den folgenden Satz gefunden:
> Es sei f [mm]\in[/mm] C(I) streng monoton und in [mm]x_0\in[/mm] I
> differenzierbar mit [mm]f'(x_0)\not=0.[/mm] Dann existiert die
> Umkerfunktion [mm]f^{-1}:f(1)\to\IR,[/mm] diese ist differenzierbar
> in [mm]y_0=f(x_0)[/mm] und es gilt:
> [mm](f^{-1})'(y_0)=\bruch{1}{f'(x_0)}.[/mm]
>
> Dies auf mein f(x)' angewandt erhalte ich die
> Umkehrfunktion:
>
> [mm](f^{-1})'(y_0)=\bruch{1}{e^{\wurzel{x_0}+\wurzel{e}ln(x_0)}\cdot{}(\bruch{1}{2}x_0^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{x_0}\wurzel{e}) }[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Ja
>
> Das dieses Umekrhfunktion wiederum differenzierbar ist sagt
> mir der Satz und nun suche ich nur noch:
> [mm](f^{-1}')(e)[/mm]
> Dies ist meinem Verständnis zufolge:
>
> [mm](f^{-1}')(e)=\bruch{1}{e^{\wurzel{e}+\wurzel{e}ln(e)}\cdot{}(\bruch{1}{2}e^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{e}\wurzel{e}) }[/mm]
Nein : es ist f(1)=e. Also [mm] x_0=1 [/mm] und [mm] y_0=e
[/mm]
Also:
[mm](f^{-1}')(e)=\bruch{1}{e^{\wurzel{1}+\wurzel{1}ln(1)}\cdot{}(\bruch{1}{2}1^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{1}\wurzel{e}) }[/mm]
FRED
>
> Gruß Julia
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Den letzten Schritt:
$ [mm] (f^{-1}')(e)=\bruch{1}{e^{\wurzel{1}+\wurzel{e}ln(1)}\cdot{}(\bruch{1}{2}1^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{1}\wurzel{e}) } [/mm] $
verstehe ich leider nicht!
Ich möchte mit $ [mm] (f^{-1}')(e) [/mm] $ den Wert der Umkehrfunktion an der Stelle $ e $ erhalten, wieso setze ich nun aber $ [mm] x_0=1 [/mm] $ und $ [mm] y_0=e [/mm] $?
Ich hatte es so verstehe, dass ich $ [mm] x_0=e [/mm] $ setze und dann schaue welchen Wert ich für $ [mm] y_0 [/mm] $ erhalte, wieso ist das falsch?
Gruß Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Fr 02.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Den letzten Schritt:
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> [mm](f^{-1}')(e)=\bruch{1}{e^{\wurzel{1}+\wurzel{e}ln(1)}\cdot{}(\bruch{1}{2}1^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{1}\wurzel{e}) }[/mm]
>
> verstehe ich leider nicht!
> Ich möchte mit [mm](f^{-1}')(e)[/mm] den Wert der Umkehrfunktion
> an der Stelle [mm]e[/mm] erhalten, wieso setze ich nun aber [mm]x_0=1[/mm]
> und [mm]y_0=e [/mm]?
> Ich hatte es so verstehe, dass ich [mm]x_0=e[/mm] setze
> und dann schaue welchen Wert ich für [mm]y_0[/mm] erhalte, wieso
> ist das falsch?
Oben hast Du selbst geschrieben:
" .............in $ [mm] y_0=f(x_0) [/mm] $ und es gilt: $ [mm] (f^{-1})'(y_0)=\bruch{1}{f'(x_0)}. [/mm] $"
Also ist [mm] y_0 [/mm] =e
FRED
>
> Gruß Julia
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Okay, aber wie finde ich dann den Wert für $ [mm] x_0 [/mm] $ ?
Vielen Dank für die Hilfe fred97!!!
Gruß Julia
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> Okay, aber wie finde ich dann den Wert für [mm]x_0[/mm] ?
Hallo,
such das [mm] x_0, [/mm] für welches gilt: [mm] f(x_0)=y_0, [/mm] in Deinem Fall also das [mm] x_0 [/mm] mit [mm] f(x_0)=e.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Fr 02.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay, aber wie finde ich dann den Wert für [mm]x_0[/mm] ?
Löse die Gleichung
[mm] e^{\wurzel{x}+\wurzel{e}ln(x)}=e,
[/mm]
löse also
[mm] \wurzel{x}+\wurzel{e}ln(x)=1
[/mm]
Ich denke man kann die Lösung "sehen"
FRED
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> Vielen Dank für die Hilfe fred97!!!
>
> Gruß Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Julia_stud |
Danke für die intensive Hilfestellung!
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