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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Mo 28.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
hehe, dumme frage -
wenn ich D(f) = [mm] \IR [/mm] habe
was ist dann D(f-1) = W(f) aber was genau?
ich habe leider noch die gepeilt, wie ich die Wertemenge bei der Umkehrfunktion angebe...
danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Loddar |
> hehe, dumme frage -
So was gibt's doch nicht ...
> wenn ich D(f) = [mm]\IR[/mm] habe
>
> was ist dann D(f-1) = W(f) aber was genau?
>
> ich habe leider noch die gepeilt, wie ich die Wertemenge
> bei der Umkehrfunktion angebe...
Du brauchst hier ja die Wertemenge der (Ausgangs-)Funktion $f$.
Bleiben wir doch beim Beispiel e-Funktion:
Der Definitionsbereich der e-funktion lautet (siehe auch die anderen Antworten  ) : [mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \IR$
[/mm]
Der Wertebereich (= die y-Werte, die durch die entsprechende Funktion erreicht werden können) lautet hier folgendermaßen, da ja gilt:
[mm] $e^x [/mm] \ > \ 0$ [mm] $\forall [/mm] \ x [mm] \in \IR$ $\Rightarrow$ $\IW_y [/mm] \ = \ [mm] \IR^+$
[/mm]
Damit gilt für den Definitionsbereich der Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}$ [/mm] (hier: [mm] $f^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)$):
[/mm]
[mm] $D\left(f^{-1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \IW(f) [/mm] \ = \ [mm] \IR^+$
[/mm]
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Di 29.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
danke - die wertemenge ist mir jetzt klarer!
also ist dann [mm] W(f^{-1}) [/mm] = [mm] \IR+, [/mm] weil ln(x ) im positiven x- bereich ist.
ich kann also immer für [mm] D(f^{-1}) [/mm] immer W(f) nehmen?
denn bei graphen, die ich nicht vorher kenne, wie x²... kann ich mir die umkehrfunktion ja nicht bildlich vorstellen...
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Hi, sophy,
> also ist dann [mm]W(f^{-1})[/mm] = [mm]\IR+,[/mm] weil ln(x ) im positiven
> x- bereich ist.
>
> ich kann also immer für [mm]D(f^{-1})[/mm] immer W(f) nehmen?
Ja! Und auch: [mm] W(f^{-1}) [/mm] = D(f)
> denn bei graphen, die ich nicht vorher kenne, wie x²...
> kann ich mir die umkehrfunktion ja nicht bildlich
> vorstellen...
Naja: Allzu schwer ist das meist nicht.
Beispiele:
1) f(x) = [mm] x^{2}+1 [/mm] mit D(f) = [mm] R_{0}^{+} [/mm] hat als Graphen offensichtlich eine "halbe" Parabel mit "Scheitel", gleichzeitig Tiefpunkt, S(0;1). Daher: W(f) = [1; [mm] +\infty[ [/mm]
2) f(x) = [mm] e^{x+1} [/mm] mit D(f) = R ist immer positiv und geht für x [mm] \to -\infty [/mm] gegen 0 (x-Achse als waagrechte Asymptote!); daher: W(f) = [mm] R^{+}
[/mm]
usw.
Wenn's schwieriger ist, wird die Ermittlung von W(f) meist in einer vorherigen Teilaufgabe verlangt.
Übrigens wird auch die "Umkehrbarkeit" als solches meist vorher untersucht. Und dies wird in fast allen Fällen über folgenden Satz gelöst:
"Jede echt monotone Funktion ist umkehrbar."
(Drum auch die Einschränkung von D(f) im obigen Beispiel 1: [mm] f(x)=x^{2}+1 [/mm] ist nämlich in D(f) = R nicht echt monoton und auch nicht umkehrbar!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Di 29.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
ja, danke - es muß halt für jedes ynur 1en x-wert geben.
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