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Hallo,
meine Frage ist eigentlich nur, ob die Umkehrfungktion von
f(x)= [mm] \bruch{x}{1+|x|}
[/mm]
einfach der Kehrwert ist.
Schon mal Danke, für eine Antort.
Bis Dann
Christin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Christin!
> meine Frage ist eigentlich nur, ob die Umkehrfungktion
> von
>
> f(x)= [mm]\bruch{x}{1+|x|}
[/mm]
>
> einfach der Kehrwert ist.
Also, in der Regel berechnet man die Umkehrfunktion, in dem man x und y vertauscht und dann nach y auflöst. Du hättest hier also:
[mm] \bruch{x}{1+|x|}=y
[/mm]
[mm] \rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{y}{1+|y|}=x
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
y=x(1+|y|)
[mm] \gdw
[/mm]
y=x+x|y|
[mm] \gdw
[/mm]
y-x|y|=x
hier bin ich mir nun nicht sicher, wie man mit dem Betrag weiterrechnet, rein rechnerisch müsste man wohl irgendeine Fallunterscheidung machen. Ich weiß aber nicht, wie es bei Betragsfunktionen mit dem Betrag aussieht, ob man die Umkehrfunktion dann abschnittsweise definiert oder so.
(Würde man den Betrag einfach weglassen, käme man auf [mm] y=\bruch{x}{1-x}
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
P. S.: Zur Umkehrfunktion findest du hier noch etwas:
 Umkehrfunktion
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Hallo Bastine,
> (Würde man den Betrag einfach weglassen, käme man auf
> [mm]y=\bruch{x}{1-x}
[/mm]
ja, dies ist auch mein Problem. Ich weiß nämlich nicht, wie man mit der Betragsfunktion so richtig rechnet. Im Prinzip ist dies ja einfach der Kehrwert.
Ich habe das gleiche Problem noch einmal, wenn ich die Funktion ableiten will.
Diese Funktion ist ja streng monoton steigend. Also muss gelten f(x) < f'(x), aber da bekomme ich auch nichts richtges raus.
Also wenn noch jemand eine tolle Idee, zum Thema Betrag hat, dann wäre es toll.
Wenn ich es nämlich mit einer Fallunterscheidung mache, habe ich dann bei -1 Null unterm Bruch stehen und dies ist nicht gerade wünschenswert.
Bis Dann
Christin
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> Wenn ich es nämlich mit einer Fallunterscheidung mache,
> habe ich dann bei -1 Null unterm Bruch stehen und dies ist
> nicht gerade wünschenswert.
Sorry, dies war quatsch. Aber das Problem mit dem Betrag bleibt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Christin_01,
ich schreibe jetzt erst mal etwas zur Umkehrfunktion:
[mm]y=\bruch{x}{1+|x|}[/mm]
Ohne Beweis dazu behaupte ich einfach mal, dass gilt:
$f: [mm] \IR \to [/mm] (-1;1)$ mit [mm] $f(x):=\frac{x}{1+|x|}$ [/mm] ist bijektiv.
Zur Umkehrfunktion:
Wir geben uns ein $y$ aus dem Zielbereich vor. Sei also $y [mm] \in [/mm] (-1;1)$ gegeben. Wir suchen nun ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $f(x)=y$. Es muß eines geben, es darf aber nicht mehr als eines geben!
Also, wir haben folgendes nach $x$ aufzulösen:
$f(x)=y$
Machen wir dies also:
$f(x)=y$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $y=\frac{x}{1+|x|}$
[/mm]
Nun war $y [mm] \in [/mm] (-1;1)$. Wir brauchen also eine Fallunterscheidung:
1. Fall: [m]y \in (-1;0][/m].
Dann muß $x [mm] \in (-\infty;0]$ [/mm] gelten (denn: Für $x [mm] \in (0;\infty)$ [/mm] würde gelten:
[mm] $\frac{x}{1+|x|}>0$, [/mm] da dann $x>0$ und auch $1+|x|>1>0$ gilt, und damit auch [mm] $\frac{x}{1+|x|}\not=y$, [/mm] da in diesem Fall ja $y<0$ gilt. Also kann im Falle [mm] $y\in [/mm] (-1;0]$ nur $x [mm] \notin (0;\infty)$ [/mm] gelten, also [m]x \in (-\infty;0][/m]).
Also ist $|x|=-x$ und damit folgt:
[mm] $y=\frac{x}{1+|x|}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $y=\frac{x}{1-x}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$y-yx=x$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x(1+y)=y$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x=\frac{y}{1+y}$
[/mm]
(beachte: $1+y [mm] \not=0$, [/mm] da [mm] $y\in [/mm] (-1;0]$ und damit insbesondere [mm] $y\not=-1$).
[/mm]
Also ist in diesem Falle die Umkehrfunktion gegeben durch:
[mm] $f^{inv}(x)=\frac{x}{1+x}$ ($\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (-1;0]$)
(Achtung: Hier steht nur $x$ als Argument, weil man gewöhnlich Funktion meist in Abhängigkeit von $x$ angibt. Um Verwirrungen zu vermeiden, kannst du auch [m]f^{inv}(y)=\frac{y}{1+y}[/m] schreiben!
Siehe auch: Umkehrfunktion.)
2. Fall: $y [mm] \in [/mm] (0;1)$. Dann gilt (analoge Überlegung wie im ersten Fall) [m]x \in (0;\infty)[/m]. Daraus folgt $|x|=x$ und daher:
[mm] $y=\frac{x}{1+|x|}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $y=\frac{x}{1+x}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$y+yx=x$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x(1-y)=y$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x=\frac{y}{1-y}$.
[/mm]
(beachte: [mm] $1-y\not=0$, [/mm] da $y [mm] \in [/mm] (0;1)$).
In diesem Fall gilt also [mm] $f^{inv}(x)=\frac{x}{1-x}$ ($\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0;1)$).
Also erhalten wir:
Für [mm] $f:\IR \to [/mm] (-1;1)$ mit [mm] $f(x)=\frac{x}{1+|x|}$ [/mm] ist die Umkehrfunktion [m]f^{inv}:(-1;1)\to \IR[/m] gegeben durch:
[mm]
f^{inv}(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{x}{1+x}, & \mbox{falls}\;x \in (-1;0] \\
\frac{x}{1-x}, & \mbox{falls }\;x \in (0;1)
\end{matrix}\right.[/mm]
Kurzes Nachdenken zeigt:
[m]f^{inv}(x):(-1;1) \to \IR[/m] ist gegeben durch:
[m]f^{inv}(x)=\frac{x}{1-|x|}[/m] [mm] ($\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (-1;1)$).
Um die Ableitungen zu berechnen, mache folgendes:
Betrachte [m]f(x)=\frac{x}{1+|x|}[/m] auf dem Intervall [m][0;\infty)[/m] (dort gilt [m]f(x)=\frac{x}{1+x}[/m]) und differenziere dort.
Dann betrachte [m]f(x)=\frac{x}{1+|x|}[/m] auf dem Intervall [m](-\infty;0][/m] (dort gilt [m]f(x)=\frac{x}{1-x}[/m]) und differenziere dort. Jetzt mußt du nur noch nachweisen, dass [m]f[/m] auch in [m]x_0:=0[/m] diff'bar ist.
Viele Grüße,
Marcel
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Danke für eure schnelle Hilfe...
ich habe jetzt den Teilaspekt der Aufgabe gelöst, dann dürfte der Rest nun kein Problem mehr sein.
Viele Grüße
Christin
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Hallo Christin!
ich zitiere mal kurz, worüber ich gestolpert bin:
"Diese Funktion ist ja streng monoton steigend. Also muss gelten f(x) < f'(x), aber da bekomme ich auch nichts richtges raus. "
Das ist nun zwar schon über 2 Tage her, aber ich hab's erst heute gesehen...
Bitte zeige mir den Weg wie Du aus der Monotonie einer Funktion f auf die Relation f(x)<f'(x) kommst.
Wenn ich mich recht entsinne, heißt eine Funktion [mm]f: X \to Y, x \mapsto f(x)[/mm] monoton steigend, g.d.w. [mm]x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \le f(x_{2}) [/mm] und streng monoton steigend, wenn [mm] \le [/mm] durch < ersetzt wird.
Ein Gegenbeispiel ist (sogar für den streng monotonen Fall) ganz einfach konstruiert:
[mm]f: \IR \to \IR, x \mapsto f(x)=x[/mm]
hier ist f'(x)=1 für alle $x [mm] \in \IR$. [/mm] Also stimmt Deine Ungleichung z.B. für [mm] $x=\pi/2$ [/mm] nicht.
Alles Gute,
Peter
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Zuerst mal musst du die Funktion umschreiben, so dass sie in betragsfreier Form dasteht; das erleichtert die restliche Rechnung ziemlich.
Also: es kommt ja nur ein Betrag vor: [mm]|x|[/mm].
Wenn gilt [mm]x\ge0[/mm], dann fällt der Betragsstrich einfach weg.
Wenn gilt [mm]x<0[/mm], dann hinterlässt er vor dem x noch ein Minus.
Das heißt also: [mm]f(x)=\bruch{x}{1-x}[/mm] für [mm]x<0[/mm]
[mm]f(x)=\bruch{x}{1+x}[/mm] für [mm]x\ge0[/mm]
(hier wär so 'ne große geschweifte Klammer gut, wie man sie für stückweise definierte Funktionen immer verwendet... wenn ich wüsste, wie man das macht  )
Dann machen wir uns noch kurz Gedanken über eventuelle Definitionslücken: bei der ersten Teilfunktion [mm]f(x)=\bruch{x}{1-x}[/mm] muss gelten: [mm]x\not=1[/mm]. Aber da hier sowieso [mm]x<0[/mm] vorausgesetzt ist, kann dieser Fall nicht eintreten!
Bei der zweiten Teilfunktion [mm]f(x)=\bruch{x}{1+x}[/mm] haben wir dasselbe: der Nenner würde zwar Null werden für [mm]x=-1[/mm], dieser Fall ist aber wegen der Def.menge [mm]x\ge0[/mm] ebenfalls ausgeschlossen.
Jetzt zu den Umkehrfunktionen:
es gilt ja: (Def.menge von [mm]f[/mm]) = (Wertemenge von [mm]f^{-1}[/mm])
und (Wertemenge von [mm]f[/mm]) = (Def.menge von [mm]f^{-1}[/mm])
Kehren wir zuerst die erste Teilfunktion [mm]y=\bruch{x}{1-x}[/mm] um (so wie von Bastiane beschrieben, und x und y vertausche ich gleich zu Beginn):
[mm]x=\bruch{y}{1-y}[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]y=\bruch{x}{1+x}[/mm] (kannst ja selber mal durchrechnen).
Genauso mit der zweiten Teilfunktion:
[mm]x=\bruch{y}{1+y}[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]y=\bruch{x}{1-x}[/mm]
Noch die Definitionsbereiche: die Wertemenge der ersten Teilfunktion [mm]y=\bruch{x}{1-x}[/mm] ist [mm] ]-1;0[ [/mm] , also ist das die Definitionsmenge der ersten Teil-Umkehrfunktion.
Für die zweite Teil-Umkehrfunktion kannst du es dir ja selber mal durchrechnen.
Tipp: zeichne dir mal ein Schaubild der Funktion [mm]f(x)[/mm]. Dann erkennst du den Wertebereich der Funktion. Und in dasselbe Schaubild kannst du auch die Umkehrfunktion [mm]f^{-1}(x)[/mm] zeichnen (im richtigen Definitionsbereich), dann erkennst du auch, wie Wertebereich von [mm]f[/mm] und Definitionsbereich von [mm]f^{-1}[/mm] zusammenhängen.
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