Umkehrfunktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:16 Fr 01.09.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | | Gilt [mm] (f')^{-1}{(x)}=(f^{-1})'(x)? [/mm] |
Hallo an alle,
ich hab da Probleme mit der Umkehrfunktion
also
ich weiß das,
[mm] f(x)=e^x
[/mm]
die Umkehrfunktion
[mm] f^{-1}{(x)}=ln(x)
[/mm]
gut aber was ist denn
[mm] f(x)=e^x+x [/mm] ich komme da einfachn icht hinter, wenn ich die formel anwende sieht das so aus
[mm] f(x)=e^x+x=y
[/mm]
[mm] y=e^x+x [/mm] das jetzt wenn möglich nach x auflösen, was mir aber nicht gelingt
würde das über den ln machen
sieht dann so aus
ln(y)=ln(x)+ln(x) aber das kann nicht stimmen, denn das würde
heißen, dass [mm] ln(e^x)=ln(x), [/mm] was ich mir einfach nicht vorstellen kann.
anders
könnte ich ja [mm] y=e^x+x [/mm] einfach stehen lassen und dann einsetzen
[mm] f^{-1}{(e^x+x)}=e^{(e^x+x)}+(e^x+x)
[/mm]
was aber auch irgendwie nicht sein kann.
naja und von die Umkehrfunktion von dieser abgeleiteten FUnktion
[mm] f(x)=e^x+x [/mm]
ist noch sehr weit weg.
genau wie wie die Frage ob: [mm] (f')^{-1}{(x)}=(f^{-1})'(x) [/mm] gilt oder obe es da überhapt einen unterschied gibt.
naja ich wäre schon für den Ansatz für die Umkehrfunktion von [mm] (x)=e^x+x [/mm] sehr dankbar.
Schönen abend noch gruß hooover
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Fr 01.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo hoover
NICHT zu jeder Funktion gibts ne Umkehrfkt. die man einfach hinschreiben kann.
Die Umkehrfkt zu [mm] e^{x} [/mm] ist ja auch nicht einfach, sondern nur halt grade in jedem Taschenrechner drin!
Aber zum Beweis des Satzes oder eines Gegenbeispiels kannst du den "Satz ja mal auf [mm] f(x)=e^{x} [/mm] anwenden. was kommt denn dann raus?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:12 Fr 01.09.2006 | | Autor: | hooover |
Hallo leduart
ich versuchs mal
[mm] f{x}=e^x
[/mm]
[mm] f'{x}=e^x
[/mm]
[mm] f^{-1}{(x)}=ln(x)
[/mm]
[mm] (f^{-1})'{(x)}=\bruch{1}{f'(f^{-1}{(x))}}=\bruch{1}{e^x*ln(x)}
[/mm]
soweit so gut (hoffe ich)
also
[mm] (f^{-1})'{(x)}=(f')^{(-1)}{(x)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{e^x*ln(x)}=\bruch{1}{e^x*ln(x)}
[/mm]
für diesen Fall stimmt das
dürfte aber nicht allgemein gelten, denn nur [mm] e^x [/mm] hat ja f{x}=f'{x}
andere Fkt. müßten ungleich sein.
vielen Dank gruß hooover
aber noch mal zu meiner Frage wie bestimme ich die Umkehrfunkktion von
[mm] f{x}=e^x+x [/mm] ?
ich soll die nämlich skizzieren.
tausche ich in der Wertetabelle einfach f{x} gegen x aus und zeichne die?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 Fr 01.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo hoover
> Hallo leduart
>
> ich versuchs mal
>
> [mm]f{x}=e^x[/mm]
>
> [mm]f'{x}=e^x[/mm]
>
>
> [mm]f^{-1}{(x)}=ln(x)[/mm]
>
> [mm](f^{-1})'{(x)}=\bruch{1}{f'(f^{-1}{(x))}}=\bruch{1}{e^x*ln(x)}[/mm]
Wie kommst du denn da drauf?
[mm](f^{-1})'{(x)}=1/x[/mm]
> soweit so gut (hoffe ich)
leider vergebens!
> aber noch mal zu meiner Frage wie bestimme ich die
> Umkehrfunkktion von
>
> [mm]f{x}=e^x+x[/mm] ?
>
> ich soll die nämlich skizzieren.
>
> tausche ich in der Wertetabelle einfach f{x} gegen x aus
> und zeichne die?
Ja! oder du zeichnest die Fkt und spiegelst an der 1, Winkelhalbierenden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:31 Fr 01.09.2006 | | Autor: | hooover |
Hallo leduart,
ich hab die Formel aus der uni
[mm](f^{-1})'{(x)}=\bruch{1}{f'(f^{-1}{(x))}}=\bruch{1}{e^x*ln(x)}[/mm]
> Wie kommst du denn da drauf?
>
mit dem Vermerk
Wenn f' keine Nullstelle hat, dann ist [mm] f^{-1} [/mm] diff´bar mit
[mm] (f^{-1})'{(x)}=\bruch{1}{f'(f^{-1}{(x))}}
[/mm]
naja und [mm] e^x [/mm] hat ja keine Nullstelle, also hab ich das halt angewendet.
schade das es nicht stimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Fr 01.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo hoover
Dass (lnx)'=1/x ist weisst du aber! Also hast du die richtige Formel falsch angewandt.
[mm] f=e^{x}; f'=f=e^{x}; f'(f^{-1})=f(f^{-1})=x [/mm] nach Definition von [mm] f^{-1}! [/mm]
Wieso kommst du auf [mm] x*e^{x}?
[/mm]
Damit du damit umgehen lernst: [mm] \wurzel{x} [/mm] ist Umkehrfkt von [mm] x^{2}!
[/mm]
Bestimme die Ableitung von [mm] \wurzel{x} [/mm] mit dem Gesetz über Ableitung von Umkehrfkt. Überprüfe dein ergebnis, da du ja weisst, was rauskommen muss!
Gruss leduart
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