Umkehrfunktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Di 28.02.2006 | | Autor: | Clarcie |
Hallo
Ich habe 2 Fragen:
1. Kann ich um zu zeigen, dass die natürliche Exponentialfunktion keine erkennbare Symmetrie hat schreiben: Da weder In(x)=In(-x) noch In(-x)=-In(x) ist ist der Graph weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur y-Achse. Weil eigentlich ist In(x)=f(x) ja nur für positive x definiert?
2. Wie leite ich die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion her?
Schon mal vorab vielen Dank für eure Hilfe!!
Clarcie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Di 28.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Clarcie,
> 1. Kann ich um zu zeigen, dass die natürliche
> Exponentialfunktion keine erkennbare Symmetrie hat
> schreiben: Da weder In(x)=In(-x) noch In(-x)=-In(x) ist
> ist der Graph weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch
> achsensymmetrisch zur y-Achse. Weil eigentlich ist
> In(x)=f(x) ja nur für positive x definiert?
Nein, das macht eigentlich keinen Sinn...
Du musst z.B. bedenken, dass eine Funktion, die achsensymmetrisch zur
$y$-Achse ist, niemals eine Umkehrfunktion haben kann, denn sie kann ja nicht eineindeutig sein, z.B. gilt wegen der Achsensymmetrie automatisch $f(-1)=f(1)$.
Ich würde hier viel einfacher argumentieren: Du willst doch nur zeigen, dass weder Achsensymmetrie zur $y$-Achse, noch Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegen.
Also zeige doch einfach, dass die Bedingungen $f(x)=f(-x)$ bzw. $f(x)=-f(-x)$ schon für $x=1$ nicht stimmen:
[mm] $e=e^{1}\not=e^{-1}=\bruch{1}{e}$ [/mm] und [mm] $e=e^{1}\not=-e^{-1}=-\bruch{1}{e}$. [/mm] Fertig!
Deine zweite Frage ist viel schwieriger zu beantworten:
> 2. Wie leite ich die Ableitung der natürlichen
> Exponentialfunktion her?
Mir fällt kein Weg ein, das mit Methoden der Schulmathematik zu zeigen. Ein Problem taucht nämlich auf, wenn wir den Differenzialquotienten betrachten:
[mm] $\lim_{h\to 0}\bruch{e^{x_{0}+h}-e^{x_{0}}}{h}=e^{x_{0}}\cdot\lim_{h\to 0}\bruch{e^{h}-1}{h}$
[/mm]
Dass der letzte Grenzwert $=1$ ist, kann man entweder durch Verwendung der Reihendarstellung [mm] $e^{h}=\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{h^{n}}{n!}$ [/mm] oder der Regel von l'Hospital zeigen.
Ich befürchte aber, du kennst beides (noch) nicht...
Ich lasse die Frage mal teilweise offen, vielleicht hat noch jemand eine andere Idee...
MFG,
Yuma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Hexe |
für die zweite Aufgabe hab ich ne recht einfache idee ist zwar streng mathematisch fishy müsst aber passen, zumindest wenn ihr die Ableitung von ln x schon habt:
[mm] x=ln(e^x) [/mm] |beide seiten ableiten ergibt
[mm] 1=\bruch{1}{e^x}(e^x)' |*e^x
[/mm]
[mm] e^x=(e^x)'
[/mm]
lg
Hexe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Hexe,
das wäre höchstwahrscheinlich ein Zirkelschluss, denn die Ableitung des Logarithmus wird eigentlich immer über die Ableitung der Umkehrfunktion (also der Exponentialfunktion) hergeleitet.
(Oder hast du eine Idee, wie man die Ableitung des Logarithmus anders herleiten könnte?)
In allen mir bekannten Analysis-Büchern geschieht die Herleitung der Ableitung der Exponentialfunktion vor der Herleitung der Ableitung des Logarithmus - das wird in der Schule nicht anders sein.
Ich kann mich leider nicht daran erinnern, wie wir das damals in der Schule gemacht haben. Wahrscheinlich haben wir das gar nicht bewiesen, sondern einfach so hingenommen... 
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Stukkateur |
Hallo allerseits,
Yuma schrieb:
> Hallo Hexe,
>
> das wäre höchstwahrscheinlich ein Zirkelschluss, denn die
> Ableitung des Logarithmus wird eigentlich immer über die
> Ableitung der Umkehrfunktion (also der Exponentialfunktion)
> hergeleitet.
> (Oder hast du eine Idee, wie man die Ableitung des
> Logarithmus anders herleiten könnte?)
Ähm - ja. Mir wurde irgendwann einmal der Logarithmus als Integral von [mm] $1\over [/mm] x$ definiert - dann ist die Ableitung des Logarithmus ja klar  Genauer: Wir haben eine Funktion L definiert zu $L(x) = [mm] \integral_{a}^{x}{{dt}\over t}$ [/mm] und ihre Eigenschaften sowie die Eigenschaften der Umkehrfunktion untersucht. Benannt haben wir sie erst ganz zum Schluß.
Tschö
Stukkateur
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