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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Mo 21.05.2007 | | Autor: | annklo |
| Aufgabe | Sei f: A [mm] \to [/mm] B eine reelle surjektive und streng monoton fallende Funktion.
Zeigen Sie: die Umkehrfunktion f^-1: B [mm] \to [/mm] A von f ist ebenfalls streng monoton fallend.
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Ich habe Probleme, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.Mein Übungsgruppenleiter hat gesagt, dass es am Besten mit einem Widerspruchsbeweis funktioniert- aber wie??
Wie fange ich an?
Danke
LG
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> Sei f: A [mm]\to[/mm] B eine reelle surjektive und streng monoton
> fallende Funktion.
> Zeigen Sie: die Umkehrfunktion f^-1: B [mm]\to[/mm] A von f ist
> ebenfalls streng monoton fallend.
>
> Ich habe Probleme, wie ich an diese Aufgabe rangehen
> soll.Mein Übungsgruppenleiter hat gesagt, dass es am Besten
> mit einem Widerspruchsbeweis funktioniert- aber wie??
> Wie fange ich an?
Hallo,
schreib Dir erstmal auf, was streng monoton fallend bedeutet für Deine Funktion.
Für alle...
Das ist das, was Du gerne zeigen möchtest.
Für einen Widerspruchsbeweis gehst Du davon aus, daß die Funktion [mm] f^{-1} [/mm] unter der Voraussetzung des monotonen Fallens von f nicht nicht streng fällt.
Dann gibt es [mm] x_1,x_2 [/mm] so daß... (die Monotoniebedingung hier nicht erfüllt ist)
Dies mußt Du dann zum Widerspruch zum monotonen Fallen der Funktion f führen.
Wenn Du den Widerspruch hast, weißt Du das es nicht sein kann, daß gleichzeitig f monoton fällt und [mm] f^{-1} [/mm] nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Do 24.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Hi, also so richtig einleuchtend ist es mir zumindest leider noch nicht geworden. Geht es vielleicht auch etwas genauer? Also die Def von streng monoton fallend ist ja : [mm] \forall a,b\in A:a
Bitte um Aufklährung!
Vielen Dank.
MFG
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>Also die Def von streng monoton fallend ist ja :
> [mm]\forall a,b\in A:a
> das, was ich gerne zeigen möchte. Für einen
> Widerspruchsbeweis nehme ich also an, dass es a und b [mm]\in[/mm] A
> gibt, die diese Bedingung nicht erfüllen, oder dass es
> keine a und b [mm]\in[/mm] A gibt, die diese Bedingung erfüllen?
Hallo,
vorausgesetzt ist, daß f streng monoton fallend ist, die Def. hast Du aufgeschieben.
Nun wollen wir zeigen, daß auch [mm] f^{-1} [/mm] streng monoton fällt.
Dazu nehmen wir an, das wäre nicht der Fall.
Was bedeutet das?
Es gibt [mm] b_1,b_2\in [/mm] B mit [mm] b_1
[mm] f^{-1}(b_i)\in [/mm] A, also gibt es [mm] a_i [/mm] mit [mm] a_i=f^{-1}(b_i).
[/mm]
Nun kannst Du weitermachen. Man muß im weiteren Verlauf natürlich die Voraussetzung benutzen. Und am Ende einen Widerspruch haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 24.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Ok, also es gibt $ [mm] b_1,b_2\in [/mm] $ B mit $ [mm] b_1
Also ex. [mm] f^{-1}(b_1)\in [/mm] A und [mm] f^{-1}(b_2) \in [/mm] A, also gibt es [mm] a_1 [/mm] mit [mm] a_1=f^{-1}(b_1) [/mm] und [mm] a_2 [/mm] mit [mm] a_2=f^{-1}(b_2). [/mm] Also ist [mm] a_1 [/mm] < [mm] a_2 \gdw f^{-1}(b_1) [/mm] < [mm] f^{-1}(b_2). [/mm] Und wie komme ich jetzt auf [mm] f(a_1) [/mm] > [mm] f(a_2) [/mm] ? Also irgendwas schnalle ich hier nicht, die Einleuchtung ist mir jedenfalls noch nicht gekommen.... Widerspruchsbeweise ist nicht unbedingt mein Liblingsthema....
MFG
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> Ok, also es gibt [mm]b_1,b_2\in[/mm] B mit [mm]b_1
> [mm]f^{-1}(b_1)\le f^{-1}(b_2) [/mm].
> Also ex. [mm]f^{-1}(b_1)\in[/mm] A
> und [mm]f^{-1}(b_2) \in[/mm] A, also gibt es [mm]a_1[/mm] mit
> [mm]a_1=f^{-1}(b_1)[/mm] und [mm]a_2[/mm] mit [mm][mm] a_2=f^{-1}(b_2).
[/mm]
Genau.
Oben hast Du ja schon stehen:
[mm] f^{-1}(b_1)\le f^{-1}(b_2), [/mm] also
[mm] a_1=f^{-1}(b_1)\le f^{-1}(b_2) [/mm] = [mm] a_2.
[/mm]
Da f monoton fallend ist, folgt hieraus? Was ist nun mit [mm] f(a_1) [/mm] und [mm] f(a_2)?
[/mm]
Und: wenn [mm] a_1=f^{-1}(b_1), [/mm] was ist dann [mm] f(a_1)?
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:54 Fr 25.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Alles klar, danke für deine Bemühungen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Fr 25.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Da f monoton fallend ist, folgt hieraus? Was ist nun mit $ [mm] f(a_1) [/mm] $ und $ [mm] f(a_2)? [/mm] $
Und: wenn $ [mm] a_1=f^{-1}(b_1), [/mm] $ was ist dann $ [mm] f(a_1)? [/mm] $
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Fr 25.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwie wirkt der Ton sehr unangenehm, wenn dich jemand zum bischen Denken beim stark geführter Hilfe anregt, die Frage wörtlich hinzuschreiben, ohne weiteren Kommemtar!
[mm] ln(e^x)=x (\wurzel{x})^2=x [/mm] soweit zu funktion und Umkehrfkt.
[mm] f(f^{-1}(x)=?
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:44 Sa 26.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Sorry, wenn ich etwas negativ rüber kam, ich wollte wirklich niemanden angreifen oder änliches..... Ich danke Euch echt für eure Hilfe. Ich hab jetzt alles, danke. Sorry nochmal.....
MFG
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