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Hallo , wir hatten heute im Matheunterricht eine Aufgabe , wo wir die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] bilden sollten , hab das aber nicht so richtig verstanden , er hat die Umkehrfunktion gebildet.
Also :
[mm] \integral\bruch{1}{x} [/mm] dx
Wie gehe ich da nun vor ?
Und dann noch eine kurze Frage :
f(x) = [mm] \wurzel[3]{x}
[/mm]
Wie bilde ich jetzt die Umkehrfunktion?
f^-1(x) = ?
Hab das noch nie gemacht , hab aber was im Internet gelesen , und da soll man irgendwie x und y vertauschen , blicke aber da grad nicht durch.
Danke schon im Voraus.
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> Hallo , wir hatten heute im Matheunterricht eine Aufgabe ,
> wo wir die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{x}[/mm] bilden sollten ,
> hab das aber nicht so richtig verstanden , er hat die
> Umkehrfunktion gebildet.
>
Dann zeig mal wie ihr das gemacht habt.
Um die Umkehrfunktion zu erhalten, löst man eine Gleichung nach "x" auf. Das ist jedoch nicht immer ganz einfach.
Valerie
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Naja , die Umkehrfunktion habe ich inzwischen verstanden , wie das geht.
Einfach nach x auflösen und dann x und y austauschen.
Das ist nicht so schwer.
Der Knackpunkt für mich ist ja [mm] \integral{\bruch{1}{x}} [/mm] dx, hab den Zettel , blicke aber nicht mehr selber durch , weil ich schnell geschrieben hatte , außerdem sind da noch viele andere Notizen :D
Da kam auf jeden Fall irgendwas mit ln(x) raus , aber ich weiß ja nicht wie man von dem Integral [mm] \integral{\bruch{1}{x}} [/mm] dx auf ln(x) kommt..
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Hallo,
> Der Knackpunkt für mich ist ja [mm]\integral{\bruch{1}{x}}[/mm] dx,
> hab den Zettel , blicke aber nicht mehr selber durch , weil
> ich schnell geschrieben hatte , außerdem sind da noch
> viele andere Notizen :D
>
> Da kam auf jeden Fall irgendwas mit ln(x) raus , aber ich
> weiß ja nicht wie man von dem Integral
> [mm]\integral{\bruch{1}{x}}[/mm] dx auf ln(x) kommt..
es ist
[mm] \integral{\bruch{1}{x} dx}=ln|x| [/mm] (Beachte die Betragsstriche!)
Was mich ein wenig erstaunt ist die Tatsache, dass ihr das (in der Schule?) hergeleitet habt. Wenn ihr das tratsächlich getan habt, so lief es genau andersherum:
es wurde gezeigt, dass
- [mm] \left(ln(x)\right)'=\bruch{1}{x}
[/mm]
und zwar mit der Ableitung für die Umkehrfunktion
[mm] \left(f^{-1}(y)\right)'=\bruch{1}{f'(x)}
[/mm]
welche man wiederum mit Hilfe der Kettenregel zeigen kann. Ihr habt dabei ausgenutzt, dass die Umkehrfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion die e-Funktion ist.
Dann habt ihr - vermutlich über Logarithmengsetze - begründet, dass auch die Ableitung der für negative x-Werte definierten Funktion
f(x)=ln(-x)
ebenfalls 1/x ist. Daraus kann man dann die Verwendung der Bertagsstriche in der Stammfunktion rechtfertigen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Mi 22.02.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar vielen Dank für die Erklärung.
Der Lehrer hat es mal so kurz am Rande erklärt. Schnell und einfach also.
Wir sind ja ein "LK" , da kann man bisschen beschleunigen:D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
![[]](/images/popup.gif) hier ist übrigens genau diese Ableitung als Beipiel erklärt.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Mi 22.02.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Oh , vielen Dank für den Link.
Werde es mir angucken.
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Hab kurz noch eine allgemeine Frage zur Umkehrformel.
Die "2.Fassung" der Umkehrformel lautet ja , wie folgt :
[mm] (f^{-1})'(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(f^-1 (x))}
[/mm]
Die Frage ist jetzt , wofür braucht man das eigentlich , wenn man die Ableitungsregeln draufhat ?
Zum Beispiel ist hier im Buch eine Aufgabe :
Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] x^{\bruch{3}{2}} [/mm] , x > 0.
Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion von [mm] f^{-1} [/mm] von f.
Na ich bestimme einfach die Umkehrfunktion und wende dann die Potenzregel für die Differenzialrechnung an.
Warum soll ich da diese Formel benutzen , wenn ich es viel schneller und einfacher machen kann ?
Sowas lohnt sich doch eigentlich nur bei ln(x) , [mm] e^x [/mm] und so.
Sehe den Sinn dieser Formel nicht..
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Hallo,
das ist eine Ableitungsregel, und zwar eine der wichtigsten überhaupt!
Sonst leite mir mal mit deinem Repertoire die Ableitung der Arkustangensfunktion:
[mm] (arctan(x))'=\bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
her. 
Du solltest dir eines vor Augen halten: in der Schule - und speziell in der Analysis - lernt man viele 'Regeln', auf deren Richtigkeit man vertrauen muss, da sie ja vom Lehrer so eingeführt werden und in Schulbuch und Formelsammlung sinngemäß genauso enthalten sind. Nur: hergeleitet wird da das allerwenigste. Aus dem einfachen Grund, weil diese Herleitungen den Rahmen des in der Schule möglichen bei weitem sprengen würden. Sieh es mal so: euer Lehrer wollte einfach mal an einer Stelle, wo dies üblicherweise genauso praktiziert wird, Licht ins Dunkel bringen und erklären wie es zu dieser schon sehr besonderen Ableitung der Logaritrhmusfunktion kommt. Ich finde das didaktisch äußerst wertvoll, es ist ein Stück aus dem Buch
non scolae sed vitae discimus.
Und auch wenn du es für praktische Rechnungen vielleicht nicht benötigen wirst (obwohl ich mir da beim LK nicht so ganz sicher bin, bei uns in BaWü war das seinerzeit 1985 LK-Stoff), es ist ein klitzekleines Beispiel, wie die Theorie der Analysis aufeinander aufbaut. Ein winzig kleines Sandkorn zwar, aber:
Der Mann, der den Berg abtrug, war der gleiche, der damit begonnen hatte, kleine Steine wegzutragen
So viel Lebensweisheit für heute. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Mi 22.02.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Danke für deine Antwort.
Naja hast eigentlich Recht , wird ja noch komplizierter.
Aber wollte ja nur wissen , wozu man das so im Großen und Ganzen braucht , muss ja alles nachvollziehen und verstehen können.
Danke für die Weisheitssprüche und für die Antworten :D
Schönen Abend noch.
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