Umkehrfkt. gebrochen-rat. Fkt. < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Elph |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)=[mm] \bruch{x^3+1}{x^2} [/mm].
Bestimmen sie die Umkehrfunktion von f(x). |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, aber unser Mathelehrer meint auch, wir könnten diese Aufgabe jetzt noch nicht lösen.
Bis jetzt habe ich die Funktion umgeschrieben in f(x)=x +[mm] \bruch{1}{x^2} [/mm].
Dann habe ich versucht, nach x aufzulösen, bin aber nur auf y [mm] \cdot [/mm] [mm] x^2=x^3+1 [/mm] gekommen. Danach weiß ich nicht mehr weiter.
Meine Frage lautet also: Was ist die Umkehrfunktion von der oben genannten Funktion bzw. wie löse ich meine Gleichung weiter nach x auf?
Ich hoffe, mein Ansatz hilft euch weiter. Hoffentlich kann man wenigstens die Formeln lesen, ich kenne mich mit TeX leider nicht aus.
Ich würde mich sehr über Hilfe bei dieser Aufgabe freuen, vielen Dank im Voraus! 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Mo 18.12.2006 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
also ich komme mit dem lösen der gleichung soweit:
[mm] 1=x^{2}*(y-x)
[/mm]
Jetzt weiß ich auch nicht weiter. Das CAS und Derive sagen dasselbe.
Bis denn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Lueger |
Hallo
das Ding ist nicht so einfach Lösbar.
Bed. für Umkehrbarkeit ist strenge Monotonie....
schau dir mal den Graph an, da musst du dich erstmal entscheiden was du umkehren möchtest.
Nach x-Umformen war mir auch nicht möglich ...
Grüße
Lueger
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Elph |
Ja gut, ich sehe, dass sich das Umformen wohl nicht lohnt. Vielen Dank für eure Bemühungen.
Dann muss ich wohl zu meinem eigentlichen Problem kommen:
Man soll den Inhalt des Rotationskörpers bestimmen, der bei der Rotation um die y-Achse entsteht, wenn die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der schiefen Asymptote (also y=x) über dem Integral [1;5] rotiert wird.
Meine Frage: Dazu brauche ich doch die Umkehrfunktion von f(x), oder?
Danke im Voraus!
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[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
> Ja gut, ich sehe, dass sich das Umformen wohl nicht lohnt.
> Vielen Dank für eure Bemühungen.
> Dann muss ich wohl zu meinem eigentlichen Problem kommen:
> Man soll den Inhalt des Rotationskörpers bestimmen, der
> bei der Rotation um die y-Achse entsteht, wenn die Fläche
> zwischen dem Graphen der Funktion und der schiefen
> Asymptote (also y=x) über dem Integral [1;5] rotiert wird.
> Meine Frage: Dazu brauche ich doch die Umkehrfunktion von
> f(x), oder?
> Danke im Voraus!
[mm] $\rmfamily \text{Ja.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Es gibt als Lösungen für das Umstellen nach }x\text{ für die Umkehrfunktion drei verschiedene:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily x_{1}=\bruch{y}{3}-\bruch{2*\left|y\right|*\cos\left(\bruch{\operatorname{arccot}\left(\bruch{\wurzel{3}*\left(27-2*y^3\right)}{9*\wurzel{4*y^3-27}}\right)}{3}\right)}{3}\vee x_{2}=\bruch{y}{3}+\bruch{2*\left|y\right|*\sin\left(\bruch{\operatorname{arctan}\left(\bruch{\wurzel{3}*\left(2*y^3-27\right)}{9*\wurzel{4*y^3-27}}\right)}{3}+\bruch{\pi}{3}\right)}{3} \vee x_{3}=\bruch{y}{3}-\bruch{2*\left|y\right|*\sin\left(\bruch{\operatorname{arctan}\left(\bruch{\wurzel{3}*\left(2*y^3-27\right)}{9*\wurzel{4*y^3-27}}\right)}{3}\right)}{3}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Jetzt musst du eine der Lösungen nehmen und schauen, in welchem Definitionsbereich die Ausgangsfunktion}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{monoton steigend (oder fallend) ist (Zeichnung!), denn nur in diesem Abschnitten ist sie eindeutig umkehrbar (bijektiv).}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Gruß, Stefan.}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Elph |
Oh Gott, wie kommt man denn auf die Formeln???
Und dann muss ich die Umkehrfunktion für die Integration auch noch quadrieren und dann noch ne Stammfunktion finden... Das schaff ich net!
Vielen Dank, dass du dir solche Mühe mit der Beantwortung meiner Frage gegeben hast!!! thx thx thx Wo hast du die Umkehrfunktionen denn her?
Ich mach die Aufgabe jetz einfach net, dass merkt der Lehrer eh net. Und am Donnerstag lass ich mir das in aller Ruhe von dem erklären. Er meinte nämlich, er hätte 4 versch. Lösungsansätze. Da bin ich ja mal gespannt!
Bis dann, Elph
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> Oh Gott, wie kommt man denn auf die Formeln???
> Und dann muss ich die Umkehrfunktion für die Integration
> auch noch quadrieren und dann noch ne Stammfunktion
> finden... Das schaff ich net!
> Vielen Dank, dass du dir solche Mühe mit der Beantwortung
> meiner Frage gegeben hast!!! thx thx thx Wo hast du die
> Umkehrfunktionen denn her?
> Ich mach die Aufgabe jetz einfach net, dass merkt der
> Lehrer eh net. Und am Donnerstag lass ich mir das in aller
> Ruhe von dem erklären. Er meinte nämlich, er hätte 4
> versch. Lösungsansätze. Da bin ich ja mal gespannt!
> Bis dann, Elph
[mm] $\rmfamily \text{Keine Wunder erwarten, das gute alte Derive hat mir geholfen.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Das Quadrat der Funktion lässt sich noch berechnen:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily x_{1}^2=-\bruch{4*y^2*\operatorname{sgn}y*\cos\left(\bruch{\operatorname{arccot}\left(\bruch{\wurzel{3}*\left(27-2*y^3\right)}{9*\wurzel{4*y^3-27}}\right)}{3}\right)}{9}+\bruch{4*y^2*\cos\left(\bruch{\operatorname{arccot}\left(\bruch{\wurzel{3}*\left(27-2*y^3\right)}{9*\wurzel{4*y^3-27}}\right)}{3}\right)^2}{9}+\bruch{y^2}{9}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Doch bei dem Integral streikt selbst Derive. Doch einen Approximationswert gibt es dennoch aus:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \pi*\int \limits^{f(5)=5{,}04}_{f(1)=2}x_{1}^2\,dy\approx 2{,}48\,[VE]$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Kannst ja mal schreiben, sobald dein Lehrer dir die Lösung gesagt hat, ob das stimmt (kann es eigentlich gar nicht).}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Di 19.12.2006 | | Autor: | Elph |
Vielen Dank, ich habe mal mit dem Wert 2,48 V.E. gerechnet und komme auf ein Ergebnis, das durchaus stimmen kann.
Aber ich hab noch eine Frage:
Wie kommt man auf den Approximationswert? Muss man dazu die Integration durch Substitution anwenden? Wenn ja, würde das auch erklären, warum wir das nach Meinung meines Lehrers noch nicht können: Integration durch Substitution ist das nächste Thema, das wir durchnehmen müssen.
Also, wenn mir jemand sagen könnte, wie man auf den Approximationswert kommt, wäre mein Problem gelöst (sofern der Wert nicht aus Derive stammt *g*)
Gruß Elph
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Hallo Nicole!!!!
...und einen schönen Nachmittag!!!
Also, irgendwie möchte ich dies mal loswerden...
Derive behauptet von sich:...2000 Jahre Mathematik in einem Programm.
...undgenießen Sie Ihre Zeit mit Derive. 
... ich denke fast es ist umöglich, zu durchblicken, mit wie vielen Tricks etc. Derive arbeitet....so viel "mathematisches Wissen" wie in Derive implementiert ist... ist denke ich so auf einen Blick "von Menschenhand" gar nicht zu überblicken...
In diesem Sinne: Lass den Nährerungswert aus den Derive einfach den Nährerungswert auf Derive sein....
...mit freundlichen Grüßen
Goldener Schnitt
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Hallo Elph und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Ja gut, ich sehe, dass sich das Umformen wohl nicht lohnt.
> Vielen Dank für eure Bemühungen.
> Dann muss ich wohl zu meinem eigentlichen Problem kommen:
> Man soll den Inhalt des Rotationskörpers bestimmen, der
> bei der Rotation um die y-Achse entsteht, wenn die Fläche
> zwischen dem Graphen der Funktion und der schiefen
> Asymptote (also y=x) über dem Integral [1;5] rotiert wird.
> Meine Frage: Dazu brauche ich doch die Umkehrfunktion von
> f(x), oder?
> Danke im Voraus!
googel mal im Matheraum mit:
<rotationsvolumen y-achse site:www.matheraum.de>
da findest du einige Anregungen.
Gruß informix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Di 19.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Elph
Man braucht die Umkehrfunktion nicht. Du musst ja
[mm] \integral_{a}^{b}{x^2 dy} [/mm] berechnen, dy/dx=f'(x)
damit dy=f'(x)dx einsetzen und fertig.
Gruss leduart
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> Hallo Elph
> Man braucht die Umkehrfunktion nicht. Du musst ja
> [mm]\integral_{a}^{b}{x^2 dy}[/mm] berechnen, dy/dx=f'(x)
> damit dy=f'(x)dx einsetzen und fertig.
> Gruss leduart
[mm] $\rmfamily \text{Stimmt. Doch finde ich es dennoch faszinierend, wie "`schwierig"' es ist, die harmlos scheinenden Gleichung}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily x=y+\bruch{1}{y^2}\text{ nach }y\text{ aufzulösen.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Fr 22.12.2006 | | Autor: | Elph |
Ah OK verstehe! Das ist natürlich auch eine Methode! Wird sofort mal ausprobiert! Aber wo bleibt dann das [mm] x^2 [/mm] ?
Mein Mathelehrer hat uns gestern übrigens nicht erklärt, wie man diese Aufgabe lösen soll, der weiß bestimmt selbst nicht, wie das geht.
Ich habe mir mal überlegt, ob ich das Volumen nicht auch mit den Funktionen g(x) = x und h(x) = x+1 nach unten und oben abschätzen könnte? Aber wie integriere ich denn die Umkehrfuntion in den Grenzen x = 1 und x = 5 ? Ich steh grad total auf dem Schlauch, bitte helft mir.
Gruß Elph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Fr 22.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ah OK verstehe! Das ist natürlich auch eine Methode! Wird
> sofort mal ausprobiert! Aber wo bleibt dann das [mm]x^2[/mm] ?
Unter dem Integral steht doch [mm] x^2dy=x^2*f'(x)dx [/mm] ich versteh nicht wo du es suchst.
> Mein Mathelehrer hat uns gestern übrigens nicht erklärt,
> wie man diese Aufgabe lösen soll, der weiß bestimmt selbst
> nicht, wie das geht.
Sei nicht ganz so überheblich! Du kannst es, wenn, ja auch mit unserer Hilfe und soo doof sind mathelehrer nicht, einige helfen hier eifrig mit!
> Ich habe mir mal überlegt, ob ich das Volumen nicht auch
> mit den Funktionen g(x) = x und h(x) = x+1 nach unten und
> oben abschätzen könnte? Aber wie integriere ich denn die
> Umkehrfuntion in den Grenzen x = 1 und x = 5
skizzier doch mal die fkt. von wo bis wo integriest du dann?
und warum nähern, wenn mans auch richtig kann?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Sa 23.12.2006 | | Autor: | Elph |
Tut mir leid, das sollte wirklich nicht überheblich klingen!
Ich hab jetzt auch verstanden, wie man die Aufgabe rechnen muss. Ich hab's dann auch mal nachgerechnet und komme auf ein vernünftiges Ergebnis.
Vielen vielen Dank für eure Hilfe, ohne hätte ich's nicht geschafft.
Euch allen noch fröhliche Weihnachten und ein frohes neues Jahr
wünscht Elph
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