Umkehrbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Do 02.06.2005 | | Autor: | Ernesto |
Einen Wunderschönen guten abend!!!
Eine FRage, wenn ich eine Funtkion gegeben habe, wie zeige ich dann das diese Funktion LOKAL umkehrbar ist. Und wie zeige ich eine GLOBALE umkehrbarkeit???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Do 02.06.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Ich nehme an du meinst folgendes:
Sei eine Abbildung [mm] $f:G\to [/mm] H$ gegeben, dann wird wohl mit lokaler Umkehrbarkeit am Punkt [mm] $h\in [/mm] H$ gemeint sein, dass [mm] $f^{-1}(\{h\})= \{g\}$ [/mm] gilt, dass es also genau ein [mm] $g\in [/mm] G$ mit $f(g)=h$ gibt. Globale Umkehrbarkeit würde ich mit der dir sicherlich bekannten Bijektivität von $f$ in Verbindung bringen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Ernesto |
hzast du dazu auch ein Beispiel. DAS wäre sehr gut , wenn möglich ausführlich
zu beiden FRagen
MFG
Thomas
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Hallo!
Lokale Umkehrbarkeit im Punkt $x$ bedeutet, dass du eine offene Umgebung von $x$ finden kannst, in der $f(x)$ umkehrbar, d.h. bijektiv ist.
Am einfachsten überprüfen kannst du das für diff'bare Funktionen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$. [/mm] Zum Beispiel
1. $f:\ [mm] \IR\to\IR,\ x\mapsto x^2$.
[/mm]
In jedem Punkt [mm] $x\in \IR\setminus\{0\}$ [/mm] gilt: [mm] $f'(x)\ne [/mm] 0$. Dann findest du auch eine Umgebung $U$ von $x$ mit [mm] $f'(y)\ne [/mm] 0$ für alle [mm] $y\in [/mm] U$. Also ist $f$ in $x$ lokal umkehrbar.
2. $f:\ [mm] \IR\to\IR,\ x\mapsto x^3$.
[/mm]
Mit demselben Argument wie in 1. ist $f$ in [mm] $x\ne [/mm] 0$ lokal umkehrbar.
Im Nullpunkt: Hier ist $f'(0)=0$. Weil aber $f''(0)=0$ und [mm] $f'''(0)=6\ne [/mm] 0$ ist dort ein Wendepunkt. Also ist $f$ auch hier lokal umkehrbar.
3. $f:\ [mm] \IR\to\IR,\ x\mapsto [/mm] 1$.
An jedem Punkt $x$ ist $f'(x)=0$, und auch alle weiteren Ableitungen.
$f$ ist in keinem Punkt lokal umkehrbar.
Wichtig ist also im Prinzip, dass die Steigung links und rechts des Punktes das gleiche Vorzeichen (ungleich 0) hat...
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Fr 03.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Lokale Umkehrbarkeit im Punkt [mm]x[/mm] bedeutet, dass du eine
> offene Umgebung von [mm]x[/mm] finden kannst, in der [mm]f(x)[/mm] umkehrbar,
> d.h. bijektiv ist.
Insbesondere muss f nicht genrell bijektiv sein - hoffe Hanno korrigert seinen Artikel. Was aber wichtig ist: ich habe das bisher noch nie mit nur der Regularitätseigenschaft "bijektiv" gesehen - vor allem wenn du offen ins Spiel bringst, fordert man, daß die Umkehrabbildung stetig ist, also lokal homöomoprh. Mir ist aber am gängisten der "Umkehrsatz" der einen lokalen Diffeomoprhismus beschreibt, also Umkehrabbuldung auch diff.bar. Untersuchen wir mal gerade deien Beispiel darauf ...
> 1. [mm]f:\ \IR\to\IR,\ x\mapsto x^2[/mm].
> In jedem Punkt [mm]x\in \IR\setminus\{0\}[/mm]
> gilt: [mm]f'(x)\ne 0[/mm]. Dann findest du auch eine Umgebung [mm]U[/mm] von
> [mm]x[/mm] mit [mm]f'(y)\ne 0[/mm] für alle [mm]y\in U[/mm]. Also ist [mm]f[/mm] in [mm]x[/mm] lokal
> umkehrbar.
Da das Differential Isom. ist an den Stellen, ist es sogar lokaler Diffeo, also insbes. Homöo. In 0 geht es ja überhaupt nicht.
> 2. [mm]f:\ \IR\to\IR,\ x\mapsto x^3[/mm].
> Mit demselben Argument
> wie in 1. ist [mm]f[/mm] in [mm]x\ne 0[/mm] lokal umkehrbar.
> Im Nullpunkt: Hier ist [mm]f'(0)=0[/mm]. Weil aber [mm]f''(0)=0[/mm] und
> [mm]f'''(0)=6\ne 0[/mm] ist dort ein Wendepunkt. Also ist [mm]f[/mm] auch
> hier lokal umkehrbar.
Lokaler Homöo in 0, da die leicht angebbare Umkehrabb. offenbar stetig ist. Aber keine lokaler Diffeo - die Umkehrabbildung ist nicht diff.bar. Nicht in 0 überall lokaler Diffeo.
> 3. [mm]f:\ \IR\to\IR,\ x\mapsto 1[/mm].
> An jedem Punkt [mm]x[/mm] ist
> [mm]f'(x)=0[/mm], und auch alle weiteren Ableitungen.
> [mm]f[/mm] ist in keinem Punkt lokal umkehrbar.
Noch nicht mal lokal bijektiv - sagt schon alles. 
> Wichtig ist also im Prinzip, dass die Steigung links und
> rechts des Punktes das gleiche Vorzeichen (ungleich 0)
> hat...
Im mehrdimensionalen muss das Differential lokal ein Isomoprhismus sein (bzw. es ist hinrecihend.)
SEcki
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