!! Umkehrabbildung Q² < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Di 23.11.2004 | | Autor: | Stx |
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wann bewirkt die Matrix
A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
eine bijektive lineare Abbildung von |Q² die gleich ihrer Umkehrabbildung ist?
Für detaillierte Antworten wäre ich dankbar..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Di 23.11.2004 | | Autor: | Guerk |
Hatte mich verlesen.
Grüße,
Olaf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Di 23.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Frage war ja, wann dies eine bijektive Abbildung von [mm] $\IQ^2$ [/mm] auf sich ist, die gleich ihrer Umkehrabbildung ist.
Zunächst einmal muss natürlich die Determinante der Matrix ungleich $0$ sein:
$ad-bc [mm] \ne [/mm] 0$.
Weiterhin muss gelten:
[mm] $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$,
[/mm]
also:
[mm] $\begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ca + dc & cb + d^2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$,
[/mm]
und damit die folgenden vier Gleichungen:
[mm] $a^2 [/mm] + bc = 1$
$ab+bd=0$
$ca + dc=0$
$ca + [mm] d^2=1$.
[/mm]
Versuche das mal zu lösen.
Zur Kontrolle:
Ich bin auf folgende Lösungen gekommen:
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$,
[/mm]
[mm] $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}$,
[/mm]
[mm] $\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$ [/mm] mit [mm] $bc=1-a^2$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:00 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Stx |
Vielen Dank für die rasche Antwort!
Aber wie kommst du auf die Kriterien?
Ich versuchs mal:
Die Matrix muss invertierbar sein um eine bijektive Abbildung auf sich selbst zu erfüllen.. daher muss auch die Determinante ungleich 0 sein!
Oder?
Was hat das ganze mit Q² zu tun?
Danke, Gruß Stx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Do 25.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Aber wie kommst du auf die Kriterien?
> Ich versuchs mal:
> Die Matrix muss invertierbar sein um eine bijektive
> Abbildung auf sich selbst zu erfüllen.. daher muss auch die
> Determinante ungleich 0 sein!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was hat das ganze mit Q² zu tun?
Nicht viel, das Ganze würde auch auf anderen (unendlichen) Körpern so klappen.
Viele Grüße
Julius
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