Umkehrabbildung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Sierra |
| Aufgabe | | Geben Sie eine Umkehrabbildung von f: [mm] (0,\infty) \times \IR^{2}->\IR^{3}, f(r,\alpha,\beta) [/mm] = [mm] (r*sin\alpha*sin\beta [/mm] , [mm] r*sin\alpha*cos\beta [/mm] , [mm] r*cos\alpha) [/mm] in der Umgebung des Punktes [mm] (1,\bruch{\pi}{2},\pi) [/mm] an. |
Hallo zusammen,
nun, ich habe zunächst mal die Jacobi-Matrix aufgestellt:
[mm] J_{f}(r,\alpha,\beta) [/mm] = [mm] \pmat{ sin\alpha*sin\beta & r*cos\alpha*sin\beta & r*sin\alpha*cos\beta \\ sin\alpha*cos\beta & r*cos\alpha*cos\beta & -r*sin\alpha*sin\beta \\ cos\alpha & -r*sin\alpha & 0 }
[/mm]
nun den Punkt eingesetzt:
[mm] J_{f}(1,\bruch{\pi}{2},\pi)= \pmat{ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
und daraus halt das Inverse bestimmt:
[mm] J^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 }
[/mm]
Nun ja, das kann doch nun nicht alles gewesen sein, oder ? Schließlich hat [mm] J^{-1} [/mm] ja nun gar nichts mehr mit der ursprünglichen Abbildung zu tun =/
Gruß Sierra
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Hallo Sierra,
> Geben Sie eine Umkehrabbildung von f: [mm](0,\infty) \times \IR^{2}->\IR^{3}, f(r,\alpha,\beta)[/mm]
> = [mm](r*sin\alpha*sin\beta[/mm] , [mm]r*sin\alpha*cos\beta[/mm] ,
> [mm]r*cos\alpha)[/mm] in der Umgebung des Punktes
> [mm](1,\bruch{\pi}{2},\pi)[/mm] an.
> Hallo zusammen,
>
> nun, ich habe zunächst mal die Jacobi-Matrix aufgestellt:
>
> [mm]J_{f}(r,\alpha,\beta)[/mm] = [mm]\pmat{ sin\alpha*sin\beta & r*cos\alpha*sin\beta & r*sin\alpha*cos\beta \\ sin\alpha*cos\beta & r*cos\alpha*cos\beta & -r*sin\alpha*sin\beta \\ cos\alpha & -r*sin\alpha & 0 }[/mm]
>
> nun den Punkt eingesetzt:
>
> [mm]J_{f}(1,\bruch{\pi}{2},\pi)= \pmat{ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
>
> und daraus halt das Inverse bestimmt:
>
> [mm]J^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Nun ja, das kann doch nun nicht alles gewesen sein, oder ?
> Schließlich hat [mm]J^{-1}[/mm] ja nun gar nichts mehr mit der
> ursprünglichen Abbildung zu tun =/
Nun, wir haben die Gleichungen
[mm]\pmat{x \\ y \\ z}=\pmat{ r*\sin\left(\alpha\right)*\sin\left(\beta\right) \\ r*\sin\left(\alpha\right)*\cos\left(\beta\right) \\ r \cos\left(\alpha\right)}[/mm]
Der Weg ist jetzt der [mm]r, alpha, \beta [/mm] in Abhängigkeit von [mm]x,y,z[/mm] darzustellen.
Überlege Dir aber zuvor, in welchem Bereich diese Funktion
umkehrbar ist, natürlich in Abhängigkeit von dem vorgegebenen Punkt.
>
> Gruß Sierra
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
die Funktion ist in den Punkten umkehrbar, wo die Jacobi-Matrix invertierbar ist, ist das richtig? wenn ja, dann darf r nicht 0 sein und [mm] \alpha [/mm] kein Vielfaches von [mm] \pi.
[/mm]
Ich weiß allerdings nicht, wie ich die Gleichung auf [mm] r,\alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] umstelle bzw. komme ich noch soweit, dass [mm] \beta=arctan(x/y) [/mm] ist, indem ich die erste Zeile durch die zweite Zeile teile. Wie mach ich danach aber weiter??
Gruß Sierra
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Hallo Sierra,
> Hallo,
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> die Funktion ist in den Punkten umkehrbar, wo die
> Jacobi-Matrix invertierbar ist, ist das richtig? wenn ja,
> dann darf r nicht 0 sein und [mm]\alpha[/mm] kein Vielfaches von
> [mm]\pi.[/mm]
In den Punkten,in denen die Determinante der Jacobi-Matrix nicht
verschwindet, besitzt die Funktion eine Umkehrfunktion.
>
> Ich weiß allerdings nicht, wie ich die Gleichung auf
> [mm]r,\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] umstelle bzw. komme ich noch soweit,
> dass [mm]\beta=arctan(x/y)[/mm] ist, indem ich die erste Zeile durch
> die zweite Zeile teile. Wie mach ich danach aber weiter??
Nun, betrachte [mm]z=r*\cos\left(\alpha\right) [/mm]
Für welche [mm]\alpha[/mm] ist z eindeutig?
Der Radius r ist ja eh eindeutig.
>
> Gruß Sierra
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Sierra |
Hallo
> Nun, betrachte [mm]z=r*\cos\left(\alpha\right)[/mm]
>
> Für welche [mm]\alpha[/mm] ist z eindeutig?
>
> Der Radius r ist ja eh eindeutig.
ich weiß echt nicht, was du damit meinst, ich hätte in meiner Naivität nämlich einfach gesagt, dass z für jedes [mm] \alpha [/mm] eindeutig ist =/
Ich bräuchte irgendwie noch einen dezenten Hinweis..
Gruß Sierra
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Hallo Sierra,
> Hallo
>
> > Nun, betrachte [mm]z=r*\cos\left(\alpha\right)[/mm]
> >
> > Für welche [mm]\alpha[/mm] ist z eindeutig?
> >
> > Der Radius r ist ja eh eindeutig.
>
> ich weiß echt nicht, was du damit meinst, ich hätte in
> meiner Naivität nämlich einfach gesagt, dass z für jedes
> [mm]\alpha[/mm] eindeutig ist =/
> Ich bräuchte irgendwie noch einen dezenten Hinweis..
Na ja, eindeutig umkehrbar eben.
Das läuft dann auf die Frage hinaus, wo der [mm]\cos\left(\alpha\right)[/mm] umkehrbar ist.
>
> Gruß Sierra
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Sierra |
Hallo nochmal,
umkehrbar ist [mm] cos(\alpha) [/mm] ja zwischen -1 und 1... und nun bitte nicht umkippen: wie hilft mir das weiter? :D
Gruß Sierra
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Hallo Sierra,
> Hallo nochmal,
>
> umkehrbar ist [mm]cos(\alpha)[/mm] ja zwischen -1 und 1... und nun
> bitte nicht umkippen: wie hilft mir das weiter? :D
Nun, das hilft Dir in soweit, dass Du den Bereich für [mm]\alpha[/mm] angegeben kannst, in der die Zuordnung [mm]\alpha \to z [/mm] bijektiv ist.
>
> Gruß Sierra
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 So 31.05.2009 | | Autor: | Sierra |
Ich versuche einfach nochmal "neu" anzufangen...
Es handelt sich hierbei ja um Kugelkoordinaten (oder sehr ähnliches) und r soll ja der Radius sein...
Also muss doch eigentlich gelten
[mm] r(x,y,z)=\wurzel(x^{2}+y^{2}+z^{2})
[/mm]
Außerdem gilt:
[mm] z=r*cos\alpha
[/mm]
=> [mm] cos\alpha=\bruch{z}{r}
[/mm]
=> [mm] \alpha(x,y,z)=arccos\bruch{z}{\wurzel(x^{2}+y^{2}+z^{2}}
[/mm]
Und wie ich vorhin schon feststellte gilt
[mm] \beta(x,y,z)=arctan(\bruch{x}{y})
[/mm]
Womit ich doch die folgende Umkehrabbildung habe:
[mm] \vektor{ r(x,y,z \\ \alpha(x,y,z) \\ \beta(x,y,z) }
[/mm]
Was mir jedoch immernoch fehlt ist der Bezug zur Umgebung des Punktes, der ja in der Aufgabe erwähnt wird. Wie bringe ich den da mit ein ?
Gruß Sierra
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Hallo Sierra,
> Ich versuche einfach nochmal "neu" anzufangen...
>
> Es handelt sich hierbei ja um Kugelkoordinaten (oder sehr
> ähnliches) und r soll ja der Radius sein...
> Also muss doch eigentlich gelten
> [mm]r(x,y,z)=\wurzel(x^{2}+y^{2}+z^{2})[/mm]
>
> Außerdem gilt:
> [mm]z=r*cos\alpha[/mm]
>
> => [mm]cos\alpha=\bruch{z}{r}[/mm]
> =>
> [mm]\alpha(x,y,z)=arccos\bruch{z}{\wurzel(x^{2}+y^{2}+z^{2}}[/mm]
>
> Und wie ich vorhin schon feststellte gilt
> [mm]\beta(x,y,z)=arctan(\bruch{x}{y})[/mm]
>
> Womit ich doch die folgende Umkehrabbildung habe:
> [mm]\vektor{ r(x,y,z \\ \alpha(x,y,z) \\ \beta(x,y,z) }[/mm]
>
> Was mir jedoch immernoch fehlt ist der Bezug zur Umgebung
> des Punktes, der ja in der Aufgabe erwähnt wird. Wie bringe
> ich den da mit ein ?
Für
[mm]\alpha=\arccos\left(\bruch{z}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)[/mm]
ist ja die Sache klar. Der Arkuscosinus liefert ja Werte zwischen 0 und [mm]\pi[/mm].
Die Sache ist ebenfalls klar für r.
Die Funktion [mm]\beta\left(x,y,z\right)[/mm] muß noch etwas modifiziert werden, da der Arkustangens nur Werte zwischen [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] und [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] liefert.
>
> Gruß Sierra
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 So 31.05.2009 | | Autor: | Sierra |
Hallo nochmal,
es müsste dann doch
[mm] \beta(x,y,z)=
[/mm]
[mm] arctan(\bruch{x}{y}) [/mm] für x>0
[mm] arctan(\bruch{x}{y}) [/mm] + [mm] \pi [/mm] für x<0
wie mache ich das jetzt für 0 ? Also klar ist, dass x=0 gelten muss, gibt es für y eine Bedingung ?
Gruß Sierra
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Hallo Sierra,
> Hallo nochmal,
>
> es müsste dann doch
>
> [mm]\beta(x,y,z)=[/mm]
>
> [mm]arctan(\bruch{x}{y})[/mm] für x>0
> [mm]arctan(\bruch{x}{y})[/mm] + [mm]\pi[/mm] für x<0
Für die Funktion [mm]\beta[/mm] muß gelten: [mm]\bruch{\pi}{2} < \beta < \bruch{3\pi}{2}[/mm]
Demnache ist letzteres zutreffend:
[mm]\beta\left(x,y,z\right)=\pi+arctan(\bruch{x}{y})[/mm]
>
> wie mache ich das jetzt für 0 ? Also klar ist, dass x=0
> gelten muss, gibt es für y eine Bedingung ?
Ich denke, Du meinst, wenn x=y=0 ist.
Hier liegt keine Eindeutigkeit mehr vor.
Zum Beispiel liefert [mm]f\left(r,\pi,\pi\right)[/mm] den selben Punkt wie [mm]f\left(r,\pi,\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
>
> Gruß Sierra
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Sierra |
So langsam komm ich endlich dahinter...
Vielen Dank (mal wieder!) für deine Mühe! :)
Gruß Sierra
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 So 31.05.2009 | | Autor: | schotti |
die jacobi-matrix enthält doch alle partiellen ableitungen der ausgangsfunktion. wenn ich die frage richtig verstehe, brauchst du nicht davon die inverse (sondern von der ausgangsfunktion)?!
das problem ist nur, dass du von verschiedenen (z.b.) alphas zum gleichen funktionswert kommen kannst, weil verschiedene alphas gleiche sinus- oder cosinuswerte haben können. also musst du darauf achten, dass du beim "rückwärtsweg" auch wirklich in der umgebung von alpha=pi/2 bzw. beta =pi landest. du kannst darum nicht einfach den arcsin(...) verwenden, denn der würde dich ja ins intervall [-pi/2;+pi/2] bringen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 So 31.05.2009 | | Autor: | schotti |
aus x/y = tan(beta) kannst du zum beispiel nicht unmittelbar beta = arctan(x/y) folgern, denn die werte der arctan-funktion liegen im bereich ]-pi/2;+pi/2[. wenn du aber 180 grad (also pi) addierst, kommst du in den richtigen bereich, also:
beta = arctan(x/y)+pi
wenn du dann zur z-koordinaten kommst, hast du unmittelbar cos(alpha) = z/r. weil alpha ja in der umgebung von pi/2 sein soll, kannst du alpha = arccos(z/r) nehmen. r müsstest du aber natürlich noch durch x,y und z ausdrücken. das kriegst du aber sicher locker hin!
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