Umkehrabbildung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 So 17.12.2006 | | Autor: | Mathmark |
Hallo erstmal !!!!
Habe folgende Frage in einem anderen Forum gestellt, aber keine Antwort erhalten:
Sei [mm]C:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to \mathbb{N}[/mm] mit [mm](m,n)\mapsto 2^m(2n+1)[/mm] gegeben.
Zeigen Sie:
1) [mm]C[/mm] ist bijektiv
2) Existiert eine Umkehrabbildung ? Wenn ja, welche ?
So.....zu 1) hab ich die Lösung hinbekommen, was ist aber mit 2) ? Da sie bijektiv ist, existiert eine Umkehrabbildung, aber wie schaut diese aus ?
Ich hab echt keine Idee......
Kann mir einer Helfen....oder einen Tip zu geeigneter Lektüre für dieses Problem liefern ?
Wäre echt Dankbar...Gruß
Mathmark
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> Hallo erstmal !!!!
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> Habe folgende Frage in einem anderen Forum gestellt, aber
> keine Antwort erhalten:
>
> Sei [mm]C:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to \mathbb{N}[/mm] mit
> [mm](m,n)\mapsto 2^m(2n+1)[/mm] gegeben.
>
> Zeigen Sie:
> 1) [mm]C[/mm] ist bijektiv
Hallo,
das klappt aber nur, wenn 0 [mm] \in \IN.
[/mm]
> 2) Existiert eine Umkehrabbildung ? Wenn ja, welche ?
Die Umkehrabbildung [mm] C^{-1} [/mm] geht von [mm] \IN [/mm] ---> [mm] \IN^2.
[/mm]
Erkläre [mm] C^{-1} [/mm] für gerade und ungerade Zahlen getrennt.
k ungerade. Dann gibt es k' mit [mm] k=2k'+1=2^0(2k'+1), [/mm] was Dir [mm] C^{-1}(k):=... [/mm] recht nahelegen sollte.
Für k gerade überlege Dir, daß es k' und k'' gibt mit [mm] k=2^k'(2k''+1) [/mm] . Da bietet es sih an für gerade k [mm] C^{-1}(k):=... [/mm] zu definieren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Mathmark |
Danke erstmal für deine Antwort !
Aber das Problem besteht ja gerade darin, die Umkehrabbildung als ganzes zu betrachten.
Außerdem denke ich, dass man im Falle [mm]k[/mm] gerade wieder vor dem ursprüglichen Problem steht, da [mm]k[/mm] ja dann von [mm]k'[/mm] und [mm]k''[/mm] abhängt.
Entschuldigen möchte ich mich auch für die schwammige Definition.....selbstverständlich gehört die Null dazu. 
Was hälst du von dieser Vermutung:
Sei [mm]C[/mm] wie oben gegeben (mit Null) und sei [mm]k=C(m,n)[/mm] sowie [mm]p=\mbox{max}\{m\in\mathbb{N}:2^m|k\}[/mm] und [mm]q=\mbox{max}\{n\in\mathbb{N}:(2n+1)|k\}[/mm].
Also wäre demnach:
[mm]C^{-1}(k)=(p,q)[/mm]
Bis ich das rausgefunden habe, bin ich fast verzweifelt........mit dem Manko, dass diese Umkehrabbildung kein explizites Ergebnis ist.
Also [mm]k[/mm] ist nicht eindeutig zerlegt.
Geht's vielleicht doch anders ?
Gruß Mathmark
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> Aber das Problem besteht ja gerade darin, die
> Umkehrabbildung als ganzes zu betrachten.
Ich weiß nicht genau, was Du meinst. Störtst Du Dich daran, eine Funktion elementweise zu definieren?
DAS ist kein Problem.
So etwas
[mm] f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
gibt's ja häufig.
> Außerdem denke ich, dass man im Falle [mm]k[/mm] gerade wieder vor
> dem ursprüglichen Problem steht, da [mm]k[/mm] ja dann von [mm]k'[/mm] und
> [mm]k''[/mm] abhängt.
Nein, k hängt nicht von k' und k'' ab.
Das k wird ja vorgegeben, und k' und k'' müssen zu diesem k passen.
Die Zerlegung in eine Potenz von zwei und eine ungerade Zahl ist eindeutig, was man leicht zeigen kann, und Grund dafür, daß man die Funktion so definieren kann, wie ich es getan habe.
Man kann es ohne Fallunterscheidung auch so machen
[mm] C^{-1}(k)=(k',k'') [/mm] mit [mm] k=2^{k'}(2k''+1)
[/mm]
Für die Wohldefiniertheit müßte man dann zeigen, daß diese Darstellung eindeutig ist.
Deine Definition geht ja in dieselbe Richtung, und sie geht meiner Meinung nach genausogut - wenn auch sie nicht so recht nach meinem Geschmack ist.
Damit sie sinnvoll ist, mußt Du sichern, daß Du nicht das Maximum leerer Mengen suchst. (Nun, das ist einfach: [mm] 2^0 [/mm] und (2*0+1) teilen jede natürliche Zahl.)
> Sei [mm]C[/mm] wie oben gegeben (mit Null) und sei [mm]k=C(m,n)[/mm] sowie
> [mm]p=\mbox{max}\{m\in\mathbb{N}:2^m|k\}[/mm] und
> [mm]q=\mbox{max}\{n\in\mathbb{N}:(2n+1)|k\}[/mm].
> Also wäre demnach:
> [mm]C^{-1}(k)=(p,q)[/mm]
Gruß v. Angela
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