Umindizierung einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Jolly |
| Aufgabe | | [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 4 \left( \bruch{1}{3} \right)^{n+2} = \bruch{4}{9} \summe_{n=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{3} \right)^{n}[/mm] |
Hallo,
also es ist keine wirkliche Aufgabe, sondern ein Beispiel, aber ich würde es gerne verstehen, um es anwenden zu können.
Es geht um die Konvergenz von Reihen, und dass man den Satz, wie die geometrische Reihe konvergiert, manchmal erst anwenden kann, wenn man die Reihe umindiziert.
Meine Frage ist, wie man auf diese [mm]\left( \bruch{4}{9} \right)[/mm] vor der Summe kommt.
Ich habe im Internet gesucht und es auf die Formel angewendet und folgendes raus:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} 4 * \left( \bruch{1}{3} \right)^{n+2} = \summe_{n=2}^{\infty} 4* \left( \bruch{1}{3} \right)^{n} \right) = 4 * \summe_{n=2}^{\infty} \left( \bruch{1}{3} \right)^{n} = 4 * \summe_{n=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{3} \right)^{n} - \left( \bruch{1}{3} \right)^{0} - \left( \bruch{1}{3} \right)^{1} = 4 * \summe_{n=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{3} \right)^{n} - 1 - \bruch{1}{3} = \bruch{24}{9} * \summe_{n=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{3} \right)^{n} [/mm]
Ja, ich weiß, 10000 Zwischenschritte, aber dann verstehe ich vielleicht die Erklärung leichter 
Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler steckt?
Vielen lieben Dank, Jolly
P.S.: Hab die Frage nur hier gesendet.
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Hallo Jolly,
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 4 \left( \bruch{1}{3} \right)^{n+2} = \bruch{4}{9} \summe_{n=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{3} \right)^{n}[/mm]
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> Hallo,
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> also es ist keine wirkliche Aufgabe, sondern ein Beispiel,
> aber ich würde es gerne verstehen, um es anwenden zu
> können.
> Es geht um die Konvergenz von Reihen, und dass man den
> Satz, wie die geometrische Reihe konvergiert, manchmal erst
> anwenden kann, wenn man die Reihe umindiziert.
> Meine Frage ist, wie man auf diese
> [mm]\left( \bruch{4}{9} \right)[/mm]
> vor der Summe kommt.
> Ich habe im Internet gesucht und es auf die Formel
> angewendet und folgendes raus:
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 4 * \left( \bruch{1}{3} \right)^{n+2} = \summe_{n=2}^{\infty} 4* \left( \bruch{1}{3} \right)^{n} \right) = 4 * \summe_{n=2}^{\infty} \left( \bruch{1}{3} \right)^{n} = 4 * \summe_{n=0}^{\infty} \red{\left[}\left( \bruch{1}{3} \right)^{n} - \left( \bruch{1}{3} \right)^{0} - \left( \bruch{1}{3} \right)^{1}\red{\right]} [/mm]
> [mm] = 4 * \summe_{n=0}^{\infty} \red{\left[}\left( \bruch{1}{3} \right)^{n} - 1 - \bruch{1}{3}\red{\right]} [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm] = \bruch{24}{9} * \summe_{n=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{3} \right)^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier müsstest du nach Zusammenfassen $-1-\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$ distributiv ausmultiplizieren, womit du aber auch nicht so ohne auf die gewünschte Darstellung kommst, sondern auf $-\frac{16}{3}+4\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n$ ...
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> Ja, ich weiß, 10000 Zwischenschritte, aber dann verstehe
> ich vielleicht die Erklärung leichter
>
> Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler steckt?
Mache dir doch keinen Stress mit ner Umindizierung.
Benutze einfachste Potenzgesetze aus der Unterstufe:
$a^{m+n}=a^{m\cdot{}n$
Also $\sum\limits_{n=0}^{\infty}4\cdot{}\left(\frac{1}{3}\right)^{n+2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}4\cdot{}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\cdot{}\left(\frac{1}{3}\right)^2=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{4}{9}\cdot{}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{4}{9}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}$ denn multiplikative Konstante kannst du ja aus der Reihe rausziehen
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> Vielen lieben Dank, Jolly
>
> P.S.: Hab die Frage nur hier gesendet.
LG
schachuzipus
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