Umgebung Stetiger Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig mir [mm] f(x_0)>0 [/mm] für ein [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Dann gibt es eine Umgebung U um [mm] x_0 [/mm] mit f(x)>0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U. |
Also bei der Aufgabe weiss ich leider absolut nicht mehr weiter.
Mir ist nur klar, dass die Aussage wahr sein muss da f eine stetige funktion ist.
Also ändern sich die Funktionswerte nur geringfügig, wenn ich ich die funktions links oder rechts betrachte.
Also werd ich wohl hier mit der stetigkeit von f argumentieren müssen.
Nur fällt mir nichtmal ein wie ich da anfangen sollte.
Ich hoffe mir kann jemand helfen, ich hab shcon seit gestern nur aufs blatt gestarrt und nix zu papier gebracht :(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:47 So 13.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig mir [mm]f(x_0)>0[/mm] für ein [mm]x_0 \in \IR.[/mm]
> Dann gibt es eine Umgebung U um [mm]x_0[/mm] mit f(x)>0 [mm]\forall[/mm] x
> [mm]\in[/mm] U.
> Also bei der Aufgabe weiss ich leider absolut nicht mehr
> weiter.
> Mir ist nur klar, dass die Aussage wahr sein muss da f
> eine stetige funktion ist.
> Also ändern sich die Funktionswerte nur geringfügig,
> wenn ich ich die funktions links oder rechts betrachte.
der Witz, der aus der Aufgabenformulierung nicht hervorgeht, ist eigentlich,
dass es reichen würde, wenn [mm] $f\,$ [/mm] stetig NUR an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] ist (und
es soll natürlich [mm] $f(x_0) [/mm] > 0$ weiterhin sein). Also fast die gleiche Aufgabe,
wir verwenden nur noch weniger Voraussetzungen:
Sei $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] eine Funktion derart, dass [mm] $f(x_0) [/mm] > 0$ und dass
zudem [mm] $f\,$ [/mm] stetig an der Stelle [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] ist. Dann gibt es eine
Umgebung [mm] $U\,$ [/mm] um [mm] $x_0$ [/mm] so, dass $f(x) > 0$ für alle $x [mm] \in U\,.$
[/mm]
> Also werd ich wohl hier mit der stetigkeit von f
> argumentieren müssen.
>
> Nur fällt mir nichtmal ein wie ich da anfangen sollte.
>
> Ich hoffe mir kann jemand helfen, ich hab shcon seit
> gestern nur aufs blatt gestarrt und nix zu papier gebracht
> :(
Du kennst die [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Definition [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$? [/mm] Wähle [mm] $\varepsilon:=\frac{f(x_0)}{2}\,,$ [/mm] damit
funktioniert es auf jeden Fall. (Beachte, dass Du [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ begründen solltest!)
(Je nach Eurer Definition könntest Du auch irgendein $0 < [mm] \varepsilon \red{\;\le\;} f(x_0)$ [/mm] wählen, aber
wenn Du aus dem [mm] $\red{\;\le\;}$ [/mm] ein [mm] $\red{\;<\;}$ [/mm] machst, wird das stets funktionieren - und es ist
bspw. $0 < [mm] f(x_0)/2 [/mm] < [mm] f(x_0)$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig mir [mm]f(x_0)>0[/mm] für ein [mm]x_0 \in \IR.[/mm]
> > Dann gibt es eine Umgebung U um [mm]x_0[/mm] mit f(x)>0 [mm]\forall[/mm] x
> > [mm]\in[/mm] U.
> > Also bei der Aufgabe weiss ich leider absolut nicht
> mehr
> > weiter.
> > Mir ist nur klar, dass die Aussage wahr sein muss da f
> > eine stetige funktion ist.
> > Also ändern sich die Funktionswerte nur geringfügig,
> > wenn ich ich die funktions links oder rechts betrachte.
>
> der Witz, der aus der Aufgabenformulierung nicht
> hervorgeht, ist eigentlich,
> dass es reichen würde, wenn [mm]f\,[/mm] stetig NUR an der Stelle
> [mm]x_0[/mm] ist (und
> es soll natürlich [mm]f(x_0) > 0[/mm] weiterhin sein). Also fast
> die gleiche Aufgabe,
> wir verwenden nur noch weniger Voraussetzungen:
> Sei [mm]f \colon \IR \to \IR[/mm] eine Funktion derart, dass [mm]f(x_0) > 0[/mm]
> und dass
> zudem [mm]f\,[/mm] stetig an der Stelle [mm]x_0 \in \IR[/mm] ist. Dann gibt
> es eine
> Umgebung [mm]U\,[/mm] um [mm]x_0[/mm] so, dass [mm]f(x) > 0[/mm] für alle [mm]x \in U\,.[/mm]
>
>
> > Also werd ich wohl hier mit der stetigkeit von f
> > argumentieren müssen.
> >
> > Nur fällt mir nichtmal ein wie ich da anfangen sollte.
> >
> > Ich hoffe mir kann jemand helfen, ich hab shcon seit
> > gestern nur aufs blatt gestarrt und nix zu papier gebracht
> > :(
>
> Du kennst die [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Definition an der Stelle
> [mm]x_0[/mm]? Wähle [mm]\varepsilon:=\frac{f(x_0)}{2}\,,[/mm] damit
> funktioniert es auf jeden Fall. (Beachte, dass Du
> [mm]\varepsilon > 0[/mm] begründen solltest!)
> (Je nach Eurer Definition könntest Du auch irgendein [mm]0 < \varepsilon \red{\;\le\;} f(x_0)[/mm]
> wählen, aber
> wenn Du aus dem [mm]\red{\;\le\;}[/mm] ein [mm]\red{\;<\;}[/mm] machst, wird
> das stets funktionieren - und es ist
> bspw. [mm]0 < f(x_0)/2 < f(x_0)[/mm]).
>
> Gruß,
> Marcel
Wie kommst du auf [mm] \varepsilon:=\bruch{f(x_0)}{2} [/mm] ?
Das kann ich nicht so recht nachvollziehen. Die Epsilon, Delta definition kenne ich natürlich. Kann man hier auch [mm] \bruch{f(x_0)}{4} [/mm] oder sonst was wählen ?
Da [mm] f(x_0)>0, [/mm] nach Vorraussetzung gitl ist natürlich auch [mm] \varepsilon:=\bruch{f(x_0)}{2} [/mm] stets > 0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 So 13.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig mir [mm]f(x_0)>0[/mm] für ein [mm]x_0 \in \IR.[/mm]
> > > Dann gibt es eine Umgebung U um [mm]x_0[/mm] mit f(x)>0 [mm]\forall[/mm] x
> > > [mm]\in[/mm] U.
> > > Also bei der Aufgabe weiss ich leider absolut nicht
> > mehr
> > > weiter.
> > > Mir ist nur klar, dass die Aussage wahr sein muss da
> f
> > > eine stetige funktion ist.
> > > Also ändern sich die Funktionswerte nur
> geringfügig,
> > > wenn ich ich die funktions links oder rechts betrachte.
> >
> > der Witz, der aus der Aufgabenformulierung nicht
> > hervorgeht, ist eigentlich,
> > dass es reichen würde, wenn [mm]f\,[/mm] stetig NUR an der
> Stelle
> > [mm]x_0[/mm] ist (und
> > es soll natürlich [mm]f(x_0) > 0[/mm] weiterhin sein). Also
> fast
> > die gleiche Aufgabe,
> > wir verwenden nur noch weniger Voraussetzungen:
> > Sei [mm]f \colon \IR \to \IR[/mm] eine Funktion derart, dass
> [mm]f(x_0) > 0[/mm]
> > und dass
> > zudem [mm]f\,[/mm] stetig an der Stelle [mm]x_0 \in \IR[/mm] ist. Dann
> gibt
> > es eine
> > Umgebung [mm]U\,[/mm] um [mm]x_0[/mm] so, dass [mm]f(x) > 0[/mm] für alle [mm]x \in U\,.[/mm]
>
> >
> >
> > > Also werd ich wohl hier mit der stetigkeit von f
> > > argumentieren müssen.
> > >
> > > Nur fällt mir nichtmal ein wie ich da anfangen sollte.
> > >
> > > Ich hoffe mir kann jemand helfen, ich hab shcon seit
> > > gestern nur aufs blatt gestarrt und nix zu papier gebracht
> > > :(
> >
> > Du kennst die [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Definition an der Stelle
> > [mm]x_0[/mm]? Wähle [mm]\varepsilon:=\frac{f(x_0)}{2}\,,[/mm] damit
> > funktioniert es auf jeden Fall. (Beachte, dass Du
> > [mm]\varepsilon > 0[/mm] begründen solltest!)
> > (Je nach Eurer Definition könntest Du auch irgendein [mm]0 < \varepsilon \red{\;\le\;} f(x_0)[/mm]
> > wählen, aber
> > wenn Du aus dem [mm]\red{\;\le\;}[/mm] ein [mm]\red{\;<\;}[/mm] machst, wird
> > das stets funktionieren - und es ist
> > bspw. [mm]0 < f(x_0)/2 < f(x_0)[/mm]).
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Wie kommst du auf [mm]\varepsilon:=\bruch{f(x_0)}{2}[/mm] ?
habe ich doch geschrieben: Du kannst irgendein [mm] $\varepsilon \in (0,\,f(x_0))$ [/mm] (also $0 < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] f(x_0)$)
[/mm]
wählen. Und warum ich auf sowas komme, siehst Du, wenn Du Dir mal
hingeschrieben hast, was damit folgt.
> Das kann ich nicht so recht nachvollziehen. Die Epsilon,
> Delta definition kenne ich natürlich. Kann man hier auch
> [mm]\bruch{f(x_0)}{4}[/mm] oder sonst was wählen ?
Ja - auch [mm] $f(x_0)/4$ [/mm] ist [mm] $\in (0,\,f(x_0))\,.$
[/mm]
> Da [mm]f(x_0)>0,[/mm] nach Vorraussetzung gitl ist natürlich auch
> [mm]\varepsilon:=\bruch{f(x_0)}{2}[/mm] stets > 0.
Richtig. Und was folgt denn nun per Stetigkeitsdefinition?
Es existiert zu [mm] $\varepsilon:=f(x_0)/2$ [/mm] ein [mm] $\delta=\delta_{\varepsilon,x_0} [/mm] > 0$ so, dass...
P.S. Nebenbei: Du kannst auch folgende Vorüberlegung machen - dann
erkennst Du vielleicht auch eher, wieso obige Wahl zielführend ist:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ zunächst unbestimmt, dann gibt es ein [mm] $\delta=\delta_{\varepsilon,x_0} [/mm] > 0$ so, dass für
alle $x [mm] \in (x_0-\delta,\,x_0+\delta)$ [/mm] folgt
[mm] $$\underbrace{f(x_0)-\varepsilon < f(x) < f(x_0)+\varepsilon}_{\iff f(x) \in (f(x_0)-\varepsilon,\,f(x_0)+\varepsilon)}\,.$$
[/mm]
Wäre es - bzgl. der Aufgabenstellung - nicht schön, wenn bei der letzten
Ungleichung schon klar wäre, dass sogar stets [mm] $f(x_0)-\varepsilon \ge [/mm] 0$ (oder gar $> [mm] 0\,$) [/mm]
wäre? (Beachte, dass wir durchgehend auch immer [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ forderten...)
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig mir [mm]f(x_0)>0[/mm] für ein [mm]x_0 \in \IR.[/mm]
> > > > Dann gibt es eine Umgebung U um [mm]x_0[/mm] mit f(x)>0 [mm]\forall[/mm] x
> > > > [mm]\in[/mm] U.
> > > > Also bei der Aufgabe weiss ich leider absolut
> nicht
> > > mehr
> > > > weiter.
> > > > Mir ist nur klar, dass die Aussage wahr sein muss
> da
> > f
> > > > eine stetige funktion ist.
> > > > Also ändern sich die Funktionswerte nur
> > geringfügig,
> > > > wenn ich ich die funktions links oder rechts betrachte.
> > >
> > > der Witz, der aus der Aufgabenformulierung nicht
> > > hervorgeht, ist eigentlich,
> > > dass es reichen würde, wenn [mm]f\,[/mm] stetig NUR an der
> > Stelle
> > > [mm]x_0[/mm] ist (und
> > > es soll natürlich [mm]f(x_0) > 0[/mm] weiterhin sein). Also
> > fast
> > > die gleiche Aufgabe,
> > > wir verwenden nur noch weniger Voraussetzungen:
> > > Sei [mm]f \colon \IR \to \IR[/mm] eine Funktion derart, dass
> > [mm]f(x_0) > 0[/mm]
> > > und dass
> > > zudem [mm]f\,[/mm] stetig an der Stelle [mm]x_0 \in \IR[/mm] ist. Dann
> > gibt
> > > es eine
> > > Umgebung [mm]U\,[/mm] um [mm]x_0[/mm] so, dass [mm]f(x) > 0[/mm] für alle [mm]x \in U\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > > Also werd ich wohl hier mit der stetigkeit von f
> > > > argumentieren müssen.
> > > >
> > > > Nur fällt mir nichtmal ein wie ich da anfangen sollte.
> > > >
> > > > Ich hoffe mir kann jemand helfen, ich hab shcon seit
> > > > gestern nur aufs blatt gestarrt und nix zu papier gebracht
> > > > :(
> > >
> > > Du kennst die [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Definition an der Stelle
> > > [mm]x_0[/mm]? Wähle [mm]\varepsilon:=\frac{f(x_0)}{2}\,,[/mm] damit
> > > funktioniert es auf jeden Fall. (Beachte, dass Du
> > > [mm]\varepsilon > 0[/mm] begründen solltest!)
> > > (Je nach Eurer Definition könntest Du auch
> irgendein [mm]0 < \varepsilon \red{\;\le\;} f(x_0)[/mm]
> > > wählen, aber
> > > wenn Du aus dem [mm]\red{\;\le\;}[/mm] ein [mm]\red{\;<\;}[/mm] machst, wird
> > > das stets funktionieren - und es ist
> > > bspw. [mm]0 < f(x_0)/2 < f(x_0)[/mm]).
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
> > Wie kommst du auf [mm]\varepsilon:=\bruch{f(x_0)}{2}[/mm] ?
>
> habe ich doch geschrieben: Du kannst irgendein [mm]\varepsilon \in (0,\,f(x_0))[/mm]
> (also [mm]0 < \varepsilon < f(x_0)[/mm])
> wählen. Und warum ich auf
> sowas komme, siehst Du, wenn Du Dir mal
> hingeschrieben hast, was damit folgt.
Okay, aber damit hab ich noch so meine Probleme.
>
> > Das kann ich nicht so recht nachvollziehen. Die Epsilon,
> > Delta definition kenne ich natürlich. Kann man hier auch
> > [mm]\bruch{f(x_0)}{4}[/mm] oder sonst was wählen ?
>
> Ja - auch [mm]f(x_0)/4[/mm] ist [mm]\in (0,\,f(x_0))\,.[/mm]
>
> > Da [mm]f(x_0)>0,[/mm] nach Vorraussetzung gitl ist natürlich auch
> > [mm]\varepsilon:=\bruch{f(x_0)}{2}[/mm] stets > 0.
>
> Richtig. Und was folgt denn nun per Stetigkeitsdefinition?
Dass aus [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] => [mm] |f(x)-f(x_0)|<\bruch{f(x_0)}{2}. [/mm] Aber das reicht ja als argumentation noch nicht aus.
>
> Es existiert zu [mm]\varepsilon:=f(x_0)/2[/mm] ein
> [mm]\delta=\delta_{\varepsilon,x_0} > 0[/mm] so, dass...
>
> P.S. Nebenbei: Du kannst auch folgende Vorüberlegung
> machen - dann
> erkennst Du vielleicht auch eher, wieso obige Wahl
> zielführend ist:
> Sei [mm]\varepsilon > 0[/mm] zunächst unbestimmt, dann gibt es ein
> [mm]\delta=\delta_{\varepsilon,x_0} > 0[/mm] so, dass für
> alle [mm]x \in (x_0-\delta,\,x_0+\delta)[/mm] folgt
> [mm]\underbrace{f(x_0)-\varepsilon < f(x) < f(x_0)+\varepsilon}_{\iff f(x) \in (f(x_0)-\varepsilon,\,f(x_0)+\varepsilon)}\,.[/mm]
>
> Wäre es - bzgl. der Aufgabenstellung - nicht schön, wenn
> bei der letzten
> Ungleichung schon klar wäre, dass sogar stets
> [mm]f(x_0)-\varepsilon \ge 0[/mm] (oder gar [mm]> 0\,[/mm])
> wäre? (Beachte, dass wir durchgehend auch immer
> [mm]\varepsilon > 0[/mm] forderten...)
Das wäre natürlich schön, weil wir dann quasi schon fertig wären. Denn dann müsste ja auch f(x)>0 sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Mo 14.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig mir [mm]f(x_0)>0[/mm] für ein [mm]x_0 \in \IR.[/mm]
> > > > > Dann gibt es eine Umgebung U um [mm]x_0[/mm] mit f(x)>0 [mm]\forall[/mm] x
> > > > > [mm]\in[/mm] U.
> > > > > Also bei der Aufgabe weiss ich leider absolut
> > nicht
> > > > mehr
> > > > > weiter.
> > > > > Mir ist nur klar, dass die Aussage wahr sein
> muss
> > da
> > > f
> > > > > eine stetige funktion ist.
> > > > > Also ändern sich die Funktionswerte nur
> > > geringfügig,
> > > > > wenn ich ich die funktions links oder rechts betrachte.
> > > >
> > > > der Witz, der aus der Aufgabenformulierung nicht
> > > > hervorgeht, ist eigentlich,
> > > > dass es reichen würde, wenn [mm]f\,[/mm] stetig NUR an
> der
> > > Stelle
> > > > [mm]x_0[/mm] ist (und
> > > > es soll natürlich [mm]f(x_0) > 0[/mm] weiterhin sein).
> Also
> > > fast
> > > > die gleiche Aufgabe,
> > > > wir verwenden nur noch weniger Voraussetzungen:
> > > > Sei [mm]f \colon \IR \to \IR[/mm] eine Funktion derart,
> dass
> > > [mm]f(x_0) > 0[/mm]
> > > > und dass
> > > > zudem [mm]f\,[/mm] stetig an der Stelle [mm]x_0 \in \IR[/mm] ist.
> Dann
> > > gibt
> > > > es eine
> > > > Umgebung [mm]U\,[/mm] um [mm]x_0[/mm] so, dass [mm]f(x) > 0[/mm] für alle [mm]x \in U\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > > Also werd ich wohl hier mit der stetigkeit von f
> > > > > argumentieren müssen.
> > > > >
> > > > > Nur fällt mir nichtmal ein wie ich da anfangen sollte.
> > > > >
> > > > > Ich hoffe mir kann jemand helfen, ich hab shcon seit
> > > > > gestern nur aufs blatt gestarrt und nix zu papier gebracht
> > > > > :(
> > > >
> > > > Du kennst die [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Definition an der Stelle
> > > > [mm]x_0[/mm]? Wähle [mm]\varepsilon:=\frac{f(x_0)}{2}\,,[/mm] damit
> > > > funktioniert es auf jeden Fall. (Beachte, dass Du
> > > > [mm]\varepsilon > 0[/mm] begründen solltest!)
> > > > (Je nach Eurer Definition könntest Du auch
> > irgendein [mm]0 < \varepsilon \red{\;\le\;} f(x_0)[/mm]
> > > > wählen, aber
> > > > wenn Du aus dem [mm]\red{\;\le\;}[/mm] ein [mm]\red{\;<\;}[/mm] machst, wird
> > > > das stets funktionieren - und es ist
> > > > bspw. [mm]0 < f(x_0)/2 < f(x_0)[/mm]).
> > > >
> > > > Gruß,
> > > > Marcel
> > >
> > > Wie kommst du auf [mm]\varepsilon:=\bruch{f(x_0)}{2}[/mm] ?
> >
> > habe ich doch geschrieben: Du kannst irgendein [mm]\varepsilon \in (0,\,f(x_0))[/mm]
> > (also [mm]0 < \varepsilon < f(x_0)[/mm])
> > wählen. Und warum
> ich auf
> > sowas komme, siehst Du, wenn Du Dir mal
> > hingeschrieben hast, was damit folgt.
>
> Okay, aber damit hab ich noch so meine Probleme.
> >
> > > Das kann ich nicht so recht nachvollziehen. Die Epsilon,
> > > Delta definition kenne ich natürlich. Kann man hier auch
> > > [mm]\bruch{f(x_0)}{4}[/mm] oder sonst was wählen ?
> >
> > Ja - auch [mm]f(x_0)/4[/mm] ist [mm]\in (0,\,f(x_0))\,.[/mm]
> >
> > > Da [mm]f(x_0)>0,[/mm] nach Vorraussetzung gitl ist natürlich auch
> > > [mm]\varepsilon:=\bruch{f(x_0)}{2}[/mm] stets > 0.
> >
> > Richtig. Und was folgt denn nun per Stetigkeitsdefinition?
>
> Dass aus [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] => [mm]|f(x)-f(x_0)|<\bruch{f(x_0)}{2}.[/mm]
> Aber das reicht ja als argumentation noch nicht aus.
doch - es gilt doch $|r| < t [mm] \iff [/mm] -t < r < [mm] t\,.$ [/mm] Bei Dir also (für die besagten
[mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$)
[/mm]
[mm] $$|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \frac{f(x_0)}{2}$$
[/mm]
[mm] $$\iff -\frac{f(x_0)}{2} [/mm] < [mm] f(x)-f(x_0) [/mm] < [mm] \frac{f(x_0)}{2} \iff: (\*)$$
[/mm]
Und [mm] $(\*)$ [/mm] kannst Du weiter umformen zu
[mm] $$(\*) \iff f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2} [/mm] < f(x) < [mm] f(x_0)+\frac{f(x_0)}{2}\,.$$
[/mm]
Siehst Du's nun?
> > Es existiert zu [mm]\varepsilon:=f(x_0)/2[/mm] ein
> > [mm]\delta=\delta_{\varepsilon,x_0} > 0[/mm] so, dass...
> >
> > P.S. Nebenbei: Du kannst auch folgende Vorüberlegung
> > machen - dann
> > erkennst Du vielleicht auch eher, wieso obige Wahl
> > zielführend ist:
> > Sei [mm]\varepsilon > 0[/mm] zunächst unbestimmt, dann gibt es
> ein
> > [mm]\delta=\delta_{\varepsilon,x_0} > 0[/mm] so, dass für
> > alle [mm]x \in (x_0-\delta,\,x_0+\delta)[/mm] folgt
> > [mm]\underbrace{f(x_0)-\varepsilon < f(x) < f(x_0)+\varepsilon}_{\iff f(x) \in (f(x_0)-\varepsilon,\,f(x_0)+\varepsilon)}\,.[/mm]
>
> >
> > Wäre es - bzgl. der Aufgabenstellung - nicht schön, wenn
> > bei der letzten
> > Ungleichung schon klar wäre, dass sogar stets
> > [mm]f(x_0)-\varepsilon \ge 0[/mm] (oder gar [mm]> 0\,[/mm])
> > wäre? (Beachte, dass wir durchgehend auch immer
> > [mm]\varepsilon > 0[/mm] forderten...)
>
> Das wäre natürlich schön, weil wir dann quasi schon
> fertig wären. Denn dann müsste ja auch f(x)>0 sein.
Und zwar für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $x [mm] \in (x_0-\delta,\;x_0+\delta)\,$ [/mm] (beachte auch
nochmals, dass gilt [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta \iff -\delta [/mm] < [mm] x-x_0 [/mm] < [mm] \delta \iff x_0-\delta [/mm] < x < [mm] x_0+\delta$
[/mm]
[mm] $\iff [/mm] x [mm] \in (x_0-\delta,\;x_0+\delta)$).
[/mm]
So, wie finden wir nun ein $0 < [mm] \varepsilon$ [/mm] mit [mm] $f(x_0)-\varepsilon \ge [/mm] 0$?
Na, was muss für solch eines gelten? Doch nur
$$0 < [mm] \varepsilon \le f(x_0)\,.$$
[/mm]
Also [mm] $\varepsilon:=f(x_0)/2$ [/mm] leistet das Gewünschte. (Es ist halt wichtig, zu
beachten, dass [mm] $(0,\,f(x_0)]$ [/mm] (bzw. [mm] $(0,\,f(x_0))$ [/mm] nicht die leere Menge ist
- aber wegen bspw. [mm] $f(x_0)/2 \in (0,\,f(x_0))$ [/mm] ist das klar!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 So 13.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Du kannst das auch mit Folgen erledigen:
Annahme: in jeder Umgebung von [mm] x_0 [/mm] nimmt f Werte [mm] \le [/mm] 0 an.
Zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] gibt es dann ein [mm] x_n \in (x_0-1/n,x_0+1/n) [/mm] mit [mm] f(x_n) \le [/mm] 0.
Dann gilt: [mm] x_n \to x_0 [/mm] und [mm] f(x_n) \to f(x_0).
[/mm]
Welchen Widerspruch bekommst Du ?
FRED
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> Du kannst das auch mit Folgen erledigen:
>
> Annahme: in jeder Umgebung von [mm]x_0[/mm] nimmt f Werte [mm]\le[/mm] 0 an.
>
> Zu jedem n [mm]\in \IN[/mm] gibt es dann ein [mm]x_n \in (x_0-1/n,x_0+1/n)[/mm]
> mit [mm]f(x_n) \le[/mm] 0.
>
> Dann gilt: [mm]x_n \to x_0[/mm] und [mm]f(x_n) \to f(x_0).[/mm]
>
> Welchen Widerspruch bekommst Du ?
>
> FRED
Wegen [mm]x_n \to x_0[/mm] und [mm]f(x_n) \to f(x_0) [/mm] müsste ja auch [mm] f(x_0)\le [/mm] 0 gelten. Nach Vorraussetzung gilt [mm] f(x_0)>0, [/mm] im wiederspruch zu annahme.
Also muss die annahme, gelten oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 So 13.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Du kannst das auch mit Folgen erledigen:
> >
> > Annahme: in jeder Umgebung von [mm]x_0[/mm] nimmt f Werte [mm]\le[/mm] 0 an.
> >
> > Zu jedem n [mm]\in \IN[/mm] gibt es dann ein [mm]x_n \in (x_0-1/n,x_0+1/n)[/mm]
> > mit [mm]f(x_n) \le[/mm] 0.
> >
> > Dann gilt: [mm]x_n \to x_0[/mm] und [mm]f(x_n) \to f(x_0).[/mm]
> >
> > Welchen Widerspruch bekommst Du ?
> >
> > FRED
>
> Wegen [mm]x_n \to x_0[/mm] und [mm]f(x_n) \to f(x_0)[/mm] müsste ja auch
unter Beachtung von [mm] $f(x_n) \le [/mm] 0$ für alle [mm] $n\,$ [/mm] somit
> [mm]f(x_0)\le[/mm] 0 gelten. Nach Vorraussetzung gilt [mm]f(x_0)>0,[/mm] im
> wiederspruch zu annahme.
Widerspruch, nicht mit ie - hier wird nicht erneut
gesprochen...
Nebenbei: Ja, so kannst Du argumentieren. Alternativ könntest Du auch
sagen, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} f(x_n) \le [/mm] 0$ wäre, womit wegen [mm] $f(x_0) [/mm] > 0$
dann der Widerspruch [mm] $\lim_{n \to \infty} f(x_n) \red{\;\not=\;}f(x_0)$ [/mm] folgt. Aber bleib' ruhig bei
Deiner Argumentation, sie ist vollkommen korrekt.
> Also muss die annahme, gelten oder ?
Die Annahme:
"In jeder Umgebung von [mm]x_0[/mm] nimmt f Werte [mm]\le[/mm] 0 an."
hast Du doch gerade zum Widerspruch geführt. Deswegen muss die
Annahme VERRWORFEN werden, da sie NICHT gelten kann.
Vielleicht meintest Du hier aber einfach nur, dass demnach also
DIE BEHAUPTUNG gelten muss?!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 So 13.01.2013 | | Autor: | Hellsing89 |
> Hallo,
>
> > > Du kannst das auch mit Folgen erledigen:
> > >
> > > Annahme: in jeder Umgebung von [mm]x_0[/mm] nimmt f Werte [mm]\le[/mm] 0 an.
> > >
> > > Zu jedem n [mm]\in \IN[/mm] gibt es dann ein [mm]x_n \in (x_0-1/n,x_0+1/n)[/mm]
> > > mit [mm]f(x_n) \le[/mm] 0.
> > >
> > > Dann gilt: [mm]x_n \to x_0[/mm] und [mm]f(x_n) \to f(x_0).[/mm]
> > >
> > > Welchen Widerspruch bekommst Du ?
> > >
> > > FRED
> >
> > Wegen [mm]x_n \to x_0[/mm] und [mm]f(x_n) \to f(x_0)[/mm] müsste ja auch
>
> unter Beachtung von [mm]f(x_n) \le 0[/mm] für alle [mm]n\,[/mm] somit
>
> > [mm]f(x_0)\le[/mm] 0 gelten. Nach Vorraussetzung gilt [mm]f(x_0)>0,[/mm] im
> > wiederspruch zu annahme.
>
> Widerspruch, nicht mit ie - hier wird nicht erneut
> gesprochen...
>
> Nebenbei: Ja, so kannst Du argumentieren. Alternativ
> könntest Du auch
> sagen, dass [mm]\lim_{n \to \infty} f(x_n) \le 0[/mm] wäre, womit
> wegen [mm]f(x_0) > 0[/mm]
> dann der Widerspruch [mm]\lim_{n \to \infty} f(x_n) \red{\;\not=\;}f(x_0)[/mm]
> folgt. Aber bleib' ruhig bei
> Deiner Argumentation, sie ist vollkommen korrekt.
>
> > Also muss die annahme, gelten oder ?
>
> Die Annahme:
> "In jeder Umgebung von [mm]x_0[/mm] nimmt f Werte [mm]\le[/mm] 0 an."
> hast Du doch gerade zum Widerspruch geführt. Deswegen
> muss die
> Annahme VERRWORFEN werden, da sie NICHT gelten kann.
>
> Vielleicht meintest Du hier aber einfach nur, dass demnach
> also
> DIE BEHAUPTUNG gelten muss?!
>
> Gruß,
> Marcel
Ja genau das meinte ich :D
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