Umformungen und Beziehungen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Stellen Sie fest, in welchen Fällen die folgenden Beziehungen gültig sind. Beweisen Sie alle ihre Aussagen.
a) ( [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] ) ( [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b} [/mm] )= [mm] \vec{a^2} [/mm] - [mm] \vec{b^2} [/mm] |
Da sind noch weitere Aufgaben habe aber nicht genug Zeit und möchte zunächst eine Korrektur meiner ersten möglichen Lösung:
( [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] ) ( [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b} [/mm] ) = [mm] \vec{a^2} [/mm] - [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b^2}
[/mm]
[mm] \gdw \vec{a^2} [/mm] - [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] + [mm] \vec{b}* \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b^2} =\vec{a^2}- \vec{b^2}
[/mm]
Da die Vektoren laut dem Kommutativgesetz beliebig vertauscht werden können kann man [mm] -\vec{a}*\vec{b}+\vec{b}*\vec{a} [/mm] berechnen und es bleibt [mm] \vec{a^2}- \vec{b^2} [/mm] übrig.
Stimmt das?
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> Stellen Sie fest, in welchen Fällen die folgenden
> Beziehungen gültig sind. Beweisen Sie alle ihre Aussagen.
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> a) ( [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm] ) ( [mm]\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{b}[/mm] )= [mm]\vec{a^2}[/mm] -
> [mm]\vec{b^2}[/mm]
> Da sind noch weitere Aufgaben habe aber nicht genug Zeit
> und möchte zunächst eine Korrektur meiner ersten möglichen
> Lösung:
>
> ( [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm] ) ( [mm]\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{b}[/mm] ) = [mm]\vec{a^2}[/mm] -
> [mm]\vec{a}*\vec{b}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm] * [mm]\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{b^2}[/mm]
>
> [mm]\gdw \vec{a^2}[/mm] - [mm]\vec{a}*\vec{b}[/mm] + [mm]\vec{b}* \vec{a}[/mm] -
> [mm]\vec{b^2} =\vec{a^2}- \vec{b^2}[/mm]
>
> Da die Vektoren laut dem Kommutativgesetz beliebig
> vertauscht werden können kann man
> [mm]-\vec{a}*\vec{b}+\vec{b}*\vec{a}[/mm] berechnen und es bleibt
> [mm]\vec{a^2}- \vec{b^2}[/mm] übrig.
>
> Stimmt das?
Hallo,
ja.
Du hast nun herausgefunden, daß ( [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm] ) ( [mm]\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{b}[/mm] )= [mm]\vec{a^2}[/mm] - [mm]\vec{b^2}[/mm] immer gilt, also ohne Einschränkung für alle [mm]\vec{a}[/mm], [mm]\vec{b}[/mm].
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Stellen Sie fest, in welchen Fällen die folgenden Beziehungen gültig sind. Beweisen Sie alle ihre Aussagen.
b) ( [mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} )^2 [/mm] = [mm] \vec{a^2}*\vec{b^2}
[/mm]
c) ( [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] ) * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{a}*\vec{b^2} [/mm] |
Es gibt da noch 2 weitere Teilaufgaben, die ich untersucht habe.
Bei b) kann ich zwar zeigen, dass ( [mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} )^2 [/mm] = [mm] \vec{a^2}*\vec{b^2} [/mm] , aber nicht wirklich mit Fachbegriffen beweisen:
( [mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} )^2 [/mm] = [mm] \vec{a^2}*\vec{b^2} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] ( [mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} )^2 [/mm] = ( [mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] )*( [mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] )
[mm] \gdw [/mm] ( [mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] )*( [mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] ) = ( [mm] \vec{a^2} [/mm] ) * ( [mm] \vec{b^2} [/mm] )
[mm] \gdw [/mm] ( [mm] \vec{a^2} [/mm] ) * ( [mm] \vec{b^2} [/mm] ) = [mm] \vec{a^2}*\vec{b^2}
[/mm]
zu c) ( [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] ) * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{a}*\vec{b^2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ( [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] ) * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] * ( [mm] \vec{b} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] )
[mm] \gdw \vec{a} [/mm] * ( [mm] \vec{b} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] ) = [mm] \vec{a}*\vec{b^2}
[/mm]
Durch das Distributivgesetz (das Verteilungsgesetz) spielt es keine Rolle wenn Vektoren zunächst so ( [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] ) * [mm] \vec{b} [/mm] berechnet werden oder so [mm] \vec{a} [/mm] * ( [mm] \vec{b} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] ) .
Durch das Distributivgesetz kann man so vorgehen und das beweist letztendlich die Beziehung zu ( [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] ) * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{a}*\vec{b^2}
[/mm]
Mit freundlichen Grüßen
expositiv
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 11:21 Fr 12.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Ideen sind korrekt, ich würde als Beweis aber eine Gleichungskette vorziehen.
Also zu c)
Zu zeigen:
[mm] (\vec{a}\cdot{}\vec{b})*\vec{b}=\vec{a}\cdot{}\vec{b^2}
[/mm]
Beweis:
[mm] (\vec{a}\cdot{}\vec{b})*\vec{b}
[/mm]
[mm] \stackrel{Distr.Ges.}{=}\vec{a}*(\vec{b}*\vec{b})
[/mm]
[mm] =\vec{a}*(\vec{b})^{2}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:00 So 14.06.2009 | | Autor: | expositiv |
Hey,
Danke für die Antwort. Unter welcher Bedingung kann man denn jetzt Aufgabe b) zeigen, dass die Beziehung stimmt?
für a) gilt ja das Kommutativgesetz
für c) gilt das Distributivgesetz
und welches Gesetz gilt für b) ??
Gruß
expositiv
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> Hallo
>
> Die Ideen sind korrekt, ich würde als Beweis aber eine
> Gleichungskette vorziehen.
>
> Also zu c)
>
> Zu zeigen:
> [mm](\vec{a}\cdot{}\vec{b})*\vec{b}=\vec{a}\cdot{}\vec{b^2}[/mm]
> Beweis:
> [mm](\vec{a}\cdot{}\vec{b})*\vec{b}[/mm]
> [mm]\stackrel{Distr.Ges.}{=}\vec{a}*(\vec{b}*\vec{b})[/mm]
> [mm]=\vec{a}*(\vec{b})^{2}[/mm]
>
> Marius
Sorry, aber beide Gleichungen sind im Allgemeinen falsch !
Zu b) hat Angela schon die Antwort gegeben.
Zu c):
Für die Kombination aus Skalarprodukt [mm] ("Vektor\circ{Vektor}=Zahl") [/mm]
und Streckungsmultiplikation ("$\ Zahl*Vektor=Vektor"$) gilt
kein solches Gesetz.
[mm] (\vec{a}\circ\vec{b})*\vec{b} [/mm] ergibt einen zu [mm] \vec{b} [/mm] kollinearen
Vektor,
[mm] \vec{a}*(\vec{b}\circ\vec{b})
[/mm]
einen zu [mm] \vec{a} [/mm] kollinearen.
Die Gleichung [mm] (\vec{a}\circ\vec{b})*\vec{b}=\vec{a}\cdot{}\vec{b}\,^2
[/mm]
kann also nur mit kollinearen Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] erfüllt werden,
oder allenfalls, wenn sie zueinander normal stehen.
Eine genauere Untersuchung zeigt, dass die Gleichung
genau dann gültig ist, wenn [mm] \vec{a}\circ\vec{b}=0 [/mm] ist.
LG Al-Chwarizmi
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> Stellen Sie fest, in welchen Fällen die folgenden
> Beziehungen gültig sind. Beweisen Sie alle ihre Aussagen.
>
> b) ( [mm]\vec{a}[/mm] * [mm]\vec{b} )^2[/mm] = [mm]\vec{a^2}*\vec{b^2}[/mm]
> Bei b) kann ich zwar zeigen, dass ( [mm]\vec{a}[/mm] * [mm]\vec{b} )^2[/mm] =
> [mm]\vec{a^2}*\vec{b^2}[/mm] , aber nicht wirklich mit Fachbegriffen
> beweisen:
>
> ( [mm]\vec{a}[/mm] * [mm]\vec{b} )^2[/mm] = [mm]\vec{a^2}*\vec{b^2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] ( [mm]\vec{a}[/mm] * [mm]\vec{b} )^2[/mm] = ( [mm]\vec{a}[/mm] * [mm]\vec{b}[/mm] )*(
> [mm]\vec{a}[/mm] * [mm]\vec{b}[/mm] )
> [mm]\gdw[/mm] ( [mm]\vec{a}[/mm] * [mm]\vec{b}[/mm] )*( [mm]\vec{a}[/mm] * [mm]\vec{b}[/mm] ) = (
> [mm]\vec{a^2}[/mm] ) * ( [mm]\vec{b^2}[/mm] )
> [mm]\gdw[/mm] ( [mm]\vec{a^2}[/mm] ) * ( [mm]\vec{b^2}[/mm] ) = [mm]\vec{a^2}*\vec{b^2}[/mm]
>
Hallo,
Deine Umformung von ( [mm]\vec{a}[/mm] * [mm]\vec{b} )^2[/mm] ist falsch.
Du mußt hier mit den Produktzeichen sorgfältig umgehen.
Das Tückische ist, daß es hier Skalarprodukte gibt, aber auch ein Produkt reeller Zahlen.
Ich mach es jetzt so, daß ich das Rechenzeichen weglasse, wo reelle Zahlen multipliziert werden.
( [mm]\vec{a}[/mm] * [mm]\vec{b} )^2[/mm] =( [mm]\vec{a}[/mm] * [mm]\vec{b} )( \vec{a}[/mm] * [mm]\vec{b} )[/mm]
In den Klammern stehen Skalarprodukte, also reelle Zahlen.
Was ist denn [mm] \vec{a}\*\vec{b} [/mm] ? [mm]\vec{a}[/mm] [mm] *\vec{b} =|\vec{a}| |\vec{b}| cos(\angle(\vec{a},\vec{b})).
[/mm]
Nun kannst Du weitermachen.
Gruß v. Angela
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In der Schule hat der Lehrer die Begrüdung der Beziehung
[mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} =|\vec{a}| |\vec{b}| [/mm] * cos [mm] \alpha
[/mm]
dazu nicht genannt, da sie angeblich zu kompliziert wäre und nicht "nötig" wäre um sie vorzustellen. Aber ich denke mal in dieser Aufgabe ist es von großer Hilfe die Beziehung dazu zu kennen...
Ich hab jetzt verschwommen den Kosinussatz im Kopf, aber ich glaube ich bin nicht auf dem richtigen Weg wenn ich jetzt Lösungsvorschläge dazu angebe.
Dein Tipp hilft mir leider nicht weiter =(
Gruß
expositiv
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Wie habt ihr denn das Skalarprodukt kennengelernt? Wie rechnet ihr das aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 So 14.06.2009 | | Autor: | expositiv |
Das Thema Skalarprodukt bei uns ist neu, bisher haben wir:
Berechnung des Winkels zwischen Vektoren
Berechnung Senkrechter Vektoren
Berechnung von Innenwinkel
Berechnung der Seitenlänge von gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke
Berechnung von rechtwinklige Dreiecke
Berechnung von Höhen im Dreieck etc. etc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 So 14.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie habt ihr denn Winkel zwischen Vektoren berechnet? Ganz ohne Skalarprodukt?
Wenn ihr das jetzt kenn schreib doch mal fuer deine rechnungen [mm] \vec{a}=\vektor{a1\\a2\\a3} [/mm] entsprechend fuer [mm] \vec{b}
[/mm]
(auch zwei komponenten reichen schon)
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 So 14.06.2009 | | Autor: | expositiv |
Warum ganz ohne Skalarprodukt??
Im Unterricht wurde gezeigt, dass [mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} =|\vec{a}| |\vec{b}| [/mm] * cos [mm] \alpha [/mm] gilt, aber wir haben im Unterricht lediglich die Begründung der Beziehung nicht analysiert ... gibt es vielleicht irgendwo eine ausführliche Erklärung der Beziehung?
Und was ist es jetzt mit Aufgabe b)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 So 14.06.2009 | | Autor: | Leibowitz |
zu b) haben doch Angela und leduart schon die entscheidenden Hinweise gegeben,
1.) Du musst wissen was [mm] \vec a \circ \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}[/mm] ergibt
2.) Wissen, dass [mm] \left( Ausdruck \right)^n [/mm] eine Abkürzung (zumindest für natürlich Zahlen) für [mm] Ausdruck \cdot ... \cdot Ausdruck [/mm] n-Mal ist
3.) Zwischen Skalarmultiplikation [mm] \circ [/mm] (zweier Vektoren) und der Multiplikation zweier Skalare (Zahlen) [mm] \cdot [/mm] sorgfältig unterscheiden
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> In der Schule hat der Lehrer die Begrüdung der Beziehung
>
> [mm]\vec{a}[/mm] * vec{b} [mm] =|\vec{a}| |\vec{b}|* [/mm] cos [mm]\alpha[/mm]
>
> dazu nicht genannt, da sie angeblich zu kompliziert wäre
> und nicht "nötig" wäre um sie vorzustellen. Aber ich denke
> mal in dieser Aufgabe ist es von großer Hilfe die Beziehung
> dazu zu kennen...
>
> Ich hab jetzt verschwommen den Kosinussatz im Kopf, aber
> ich glaube ich bin nicht auf dem richtigen Weg wenn ich
> jetzt Lösungsvorschläge dazu angebe.
>
> Dein Tipp hilft mir leider nicht weiter =(
Hallo,
wieso?
Du brauchst doch jetzt nur weiterzumachen:
[mm] (\vec{a}\*\vec{b})^2=(|\vec{a}| |\vec{b}| cos(\angle(\vec{a},\vec{b})))^2=...,
[/mm]
und dann mußt Du Dir als nächstes überlegen, unter welchen Umständen das dasselbe ist wie [mm] \vec{a}^2\\vec{b}^2.
[/mm]
Du solltest dabei feststellen: dies ist der Fall, wenn [mm] cos(\angle(\vec{a},\vec{b}))^ [/mm] ist. Und? Für welche Winkel ist das so?
Gruß v. Angela
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Dann habt ihr ja etwas mit dem Skalarprodukt (egal wo es jetzt herkommen mag). Diese Beziehung musst du einsetzen, umsortieren und fertig.
Mit der b) würde das dann so aussehen:
[mm]\left(\vec{a}*\vec{b}\right)^2[/mm] (Definition einsetzen)
[mm]=\left(|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(\alpha)\right)^2[/mm] (Umsortieren geht, weil jetzt alles in [mm] \IR [/mm] passiert)
[mm]=|\vec{a}|*|\vec{a}|*cos(\alpha)*|\vec{b}|*\vec{b}|*cos(\alpha)[/mm] (Definition andersrum einsetzen)
[mm]=\vec{a}*\vec{a}*\vec{b}*\vec{b}[/mm] (Jetzt kurz schreiben)
[mm]=\vec{a}^2*\vec{b}^2[/mm] (fertig)
Das Prinzip ist dann für alle Teilaufgaben das gleiche:
1. Starte mit der einen Seite der Gleichung, die du zeigen willst.
2. Benutze die Definition.
3. Dann hast du nur noch mit Zahlen zu tun, mit denen du "alles" machen kannst. Forme also so um, wie es dich Richtung Ziel führt.
4. Benutze die Definition nochmal andersrum.
Gruß,
weightgainer
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