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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Umformungen ln und e
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Umformungen ln und e: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Mo 28.02.2022
Autor: hase-hh

Aufgabe
Zeigen Sie, dass das [mm] \integral_{ln(3)-a}^{ln(3)+a}{f(x) dx} [/mm] = 10*a ist; mit a > 0.

f(x) = [mm] \bruch{10}{1+9*e^{-2x}} [/mm]



Moin Moin,


1. Stammfunktion bilden

[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{10}{1+9*e^{-2x}} dx} [/mm]

= [mm] 10*\integral_{}^{}{ \bruch{1}{1+9*e^{-2x}} dx} [/mm]


= [mm] 10*\integral_{}^{}{ \bruch{1*e^{2x}}{(1+9*e^{-2x})*e^{2x})} dx} [/mm]

= [mm] 10*\integral_{}^{}{ \bruch{e^{2x}}{e^{2x}+9} dx} [/mm]


Substitution


u = [mm] e^{2x}+9 [/mm]  

u ' = [mm] \bruch{du}{dx} [/mm]  

[mm] 2*e^{2x} [/mm] = [mm] \bruch{du}{dx} [/mm]  

=> dx = [mm] \bruch{du}{2*e^{2x}} [/mm]


= [mm] 10*\integral_{}^{}{ \bruch{e^{2x}}{u}*\bruch{du}{2*e^{2x}}} [/mm]


= [mm] 5*\integral_{}^{}{ \bruch{1}{u}*du} [/mm]

= 5*ln(u)

Resubstitution


F(x) = [mm] 5*ln(e^{2x} [/mm] +9)  +C



=>  [mm] \integral_{ln(3)-a}^{ln(3)+a}{f(x) dx} [/mm]


2. Grenzen einsetzen

= F(ln(3)+a) - F(ln(3)-a)

[mm] 5*ln(e^{2*(ln(3)+a)} [/mm] +9)  - [mm] 5*ln(e^{2*(ln(3)-a)} [/mm] +9)


[mm] 5*ln(e^{ln(3)^2}*e^{2a} [/mm] +9) - [mm] 5*ln(e^{ln(3)^2}*e^{-2a} [/mm] +9)

[mm] 5*ln(9*e^{2a}+9) [/mm] - [mm] 5*ln(9*e^{-2a}+9) [/mm]

[mm] 5*(ln(9*e^{2a}+9) [/mm] - [mm] ln(9*e^{-2a}+9) [/mm] )


Die Differenz zweier Logarithmen kann man vereinfachen

[mm] log_b [/mm] (a) - [mm] log_b(c) [/mm] = [mm] log_b (\bruch{a}{c}) [/mm]


[mm] =>5*ln(\bruch{9*e^{2a}+9}{9*e^{-2a}+9}) [/mm]

= [mm] 5*ln(\bruch{9*(e^{2a}+1)}{9*(e^{-2a}+1)}) [/mm]

= [mm] 5*ln(\bruch{e^{2a}+1}{e^{-2a}+1}) [/mm]


= [mm] 5*ln(\bruch{e^{2a}+1}{(\bruch{1}{e^{2a}}+1)}) [/mm]

  = [mm] 5*ln(\bruch{e^{2a}+1}{(\bruch{1}{e^{2a}}+\bruch{1*e^{2a}}{e^{2a}})}) [/mm]


= [mm] 5*ln(\bruch{e^{2a}+1}{(\bruch{1+e^{2a}}{e^{2a}})}) [/mm]

= [mm] 5*ln(\bruch{e^{2a}+1}{1}*{\bruch{e^{2a}}{e^{2a}+1}}) [/mm]

= [mm] 5*ln(\bruch{e^{2a}}{1}) [/mm]

= 5*2a

= 10*a

richtig?


        
Bezug
Umformungen ln und e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:45 Di 01.03.2022
Autor: statler

Hallo,
>  
> richtig?
>  

ich habe erstmal keinen Fehler entdeckt, also ja.


Bezug
        
Bezug
Umformungen ln und e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:49 Di 01.03.2022
Autor: fred97

Auch ich sehe keine Fehler, habe aber einen weiteren Lösungsvorschlag:

Setze $G(t):= [mm] \int_0^t [/mm] f(x) dx$ und $F(a):= [mm] \integral_{\ln(3)-a}^{\ln(3)+a}{f(x) dx}$ [/mm] für $a [mm] \ge [/mm] 0.$

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist $G$ differenziebar und $G'(t)=f(t).$ Damit ist $F$ differenzierbar und (nachrechnen !)

   $F'(a)=f( [mm] \ln [/mm] (3)+a)+f( [mm] \ln [/mm] (3)-a).$

Das liefert (ebenfalls nachrechnen !):

  $F'(a)=10.$

Mit einer Konatanten $c$ ist also $F(a)=10a+c.$ Wegen $F(0)=0$ folgt $c=0$ und somit

   $F(a)=10a.$

Bezug
                
Bezug
Umformungen ln und e: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:35 Di 01.03.2022
Autor: hase-hh

Interessante Idee!  ^^


Bezug
                
Bezug
Umformungen ln und e: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Di 01.03.2022
Autor: hase-hh

Warum ist F ' (a) = f(ln(3)+a) plus  f(ln(3) -a)   und nicht minus?


Rechnung nach deiner Idee ist jedenfalls:


F ' (a) = f(ln(3)+a) +  f(ln(3) -a)

F ' (a) = [mm] \bruch{10}{1+9*e^{-2*(ln(3)+a)}} [/mm] + [mm] \bruch{10}{1+9*e^{-2*(ln(3)-a)}} [/mm]

F ' (a) = [mm] \bruch{10}{1+9*(e^{(ln(3)})^{-2}*e^{-2a}} [/mm] + [mm] \bruch{10}{1+9*(e^{(ln(3)})^{-2}*e^{2a}} [/mm]

F ' (a) = [mm] \bruch{10}{1+9*\bruch{1}{9}*e^{-2a}} [/mm] + [mm] \bruch{10}{1+9*\bruch{1}{9}*e^{2a}} [/mm]

F ' (a) = [mm] \bruch{10}{1+e^{-2a}} [/mm] + [mm] \bruch{10}{1+e^{2a}} [/mm]

F ' (a) = [mm] \bruch{10*e^{2a}}{(1+e^{-2a})*e^{2a}} [/mm] + [mm] \bruch{10}{1+e^{2a}} [/mm]

F ' (a) = [mm] \bruch{10*e^{2a}}{e^{2a}+1} [/mm] + [mm] \bruch{10}{1+e^{2a}} [/mm]

F ' (a) = [mm] \bruch{10*e^{2a}+10}{e^{2a}+1} [/mm]

F ' (a) = [mm] \bruch{10*(e^{2a}+1)}{e^{2a}+1} [/mm]

F ' (a) = 10.


VG




Bezug
                        
Bezug
Umformungen ln und e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Di 01.03.2022
Autor: fred97


> Warum ist F ' (a) = f(ln(3)+a) plus  f(ln(3) -a)   und
> nicht minus?

Es ist

[mm] $F(a)=G(\ln3 [/mm] +a)-G( [mm] \ln [/mm] 3 -a)$

also

$F'(a)= [mm] G'(\ln [/mm] e [mm] +a)-G'(\ln [/mm] 3-a) [mm] \cdot [/mm] (-1).$

$(-1)$ kommt durch die Kettenregel zustande: [mm] $\frac{d}{d a}(\ln [/mm] 3 -a)=-1.$

Somit

$F'(a)= [mm] G'(\ln [/mm] e [mm] +a)+G'(\ln [/mm] 3-a) = [mm] f(\ln [/mm] e [mm] +a)+f(\ln [/mm] 3-a)  .$


>
>
> Rechnung nach deiner Idee ist jedenfalls:
>  
>
> F ' (a) = f(ln(3)+a) +  f(ln(3) -a)
>
> F ' (a) = [mm]\bruch{10}{1+9*e^{-2*(ln(3)+a)}}[/mm] +
> [mm]\bruch{10}{1+9*e^{-2*(ln(3)-a)}}[/mm]
>  
> F ' (a) = [mm]\bruch{10}{1+9*(e^{(ln(3)})^{-2}*e^{-2a}}[/mm] +
> [mm]\bruch{10}{1+9*(e^{(ln(3)})^{-2}*e^{2a}}[/mm]
>  
> F ' (a) = [mm]\bruch{10}{1+9*\bruch{1}{9}*e^{-2a}}[/mm] +
> [mm]\bruch{10}{1+9*\bruch{1}{9}*e^{2a}}[/mm]
>  
> F ' (a) = [mm]\bruch{10}{1+e^{-2a}}[/mm] + [mm]\bruch{10}{1+e^{2a}}[/mm]
>  
> F ' (a) = [mm]\bruch{10*e^{2a}}{(1+e^{-2a})*e^{2a}}[/mm] +
> [mm]\bruch{10}{1+e^{2a}}[/mm]
>  
> F ' (a) = [mm]\bruch{10*e^{2a}}{e^{2a}+1}[/mm] +
> [mm]\bruch{10}{1+e^{2a}}[/mm]
>  
> F ' (a) = [mm]\bruch{10*e^{2a}+10}{e^{2a}+1}[/mm]
>
> F ' (a) = [mm]\bruch{10*(e^{2a}+1)}{e^{2a}+1}[/mm]
>
> F ' (a) = 10.
>  
>
> VG
>  
>
>  


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