Umformung unklar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Savoyen |
| Aufgabe | f:(a,b) [mm] \to \IR [/mm] sei streng monoton wachsend. f sei stetig und f sei differenzierbar in [mm] x_o [/mm] mit [mm] f'(x_o)\not= [/mm] 0.
Dann ist die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] von f in [mm] y_0 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] differenzierbar und [mm] $f^{-1}'(y_o) [/mm] = [mm] \br{1}{f'(x_0)}$
[/mm]
Beweis |
f ist differenzierbar in [mm] x_0 \Rightarrow \exists [/mm] Funktion [mm] r:\IR->\IR [/mm] mit [mm] r(x_0)=0 [/mm] und r stetig in [mm] x_0, [/mm] sodass
f(x) = [mm] f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+r(x)(x-x_0) [/mm] Mit y = f(x) und [mm] y_0 [/mm] = [mm] f(x_0)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \br{y-y_0}{x-x_0} [/mm] = [mm] f'(x_0)+r(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \br{x-x_0}{y-y_0} [/mm] = [mm] \br{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}
[/mm]
Verstehe ich nicht. Vorher rechnet man 1 : Ausdruck und dann müsste da ja eigentlich stehen [mm] $\br{x-x_0}{y-y_0} [/mm] = [mm] \br{1}{f'(x_0)+r(x)}$
[/mm]
Aber es erschließt sich mir nicht, warum [mm] $\br{1}{f'(x_0)+r(x)} [/mm] = [mm] \br{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}$
[/mm]
Danke fürs Erklären
Tschüss
Savoyen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Dablack |
$ [mm] \Rightarrow \br{x-x_0}{y-y_0} [/mm] $ = $ [mm] \br{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} [/mm] $
Bei diesem Schritt wird nur eine andere Form x zu schreiben benutzt.
y = f(x) | [mm] f^{-1} \circ [/mm] (Umkehrfunktion)
[mm] f^{-1}(y) [/mm] = [mm] f^{-1} \circ [/mm] f(x) | [mm] f^{-1} \circ [/mm] f(x) = 1
[mm] f^{-1}(y) [/mm] = x
Ich hoffe ich hab Dich jetzt richtig verstanden...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Savoyen |
> [mm]\Rightarrow \br{x-x_0}{y-y_0}[/mm] =
> [mm]\br{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}[/mm]
>
> Bei diesem Schritt wird nur eine andere Form x zu schreiben
> benutzt.
>
> y = f(x) | [mm]f^{-1} \circ[/mm] (Umkehrfunktion)
> [mm]f^{-1}(y)[/mm] = [mm]f^{-1} \circ[/mm] f(x) | [mm]f^{-1} \circ[/mm] f(x) = 1
> [mm]f^{-1}(y)[/mm] = x
>
> Ich hoffe ich hab Dich jetzt richtig verstanden...
Hast du. Danke für den Lichtblick.
|
|
|
|
