Umformung eines Ausdrucks < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag,
wir hatten am Freitag in der Wahrscheinlichkeitstheorie Vorlesung die geometrische Verteilung und dazu speziell die Gedächtnislosigkeit bei dem Beweis wurde die folgende Umformung gemacht, die ich nicht verstehe:
$$
[mm] \mathbb{P}[T-n>k [/mm] | [mm] T>n]=\frac{\mathbb{P}[T>n+k, T>n]}{\mathbb{P}[T>n]}=\frac{\mathbb{P}[T>n+k]}{\mathbb{P}[T>n]}
[/mm]
$$
Es handelt sich hier ja um eine Bedingte Wahrscheinlichkeit, müsste es dann nicht lauten
[mm] $$\mathbb{P}[T-n>k [/mm] | [mm] T>n]=\frac{\mathbb{P}[T>n+k \cap T>n]}{\mathbb{P}[T>n]}$$?
[/mm]
Und wie kommt man dann im Zähler auf nur noch $T>n+k$?
Gruß
Jule
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Hiho,
> Es handelt sich hier ja um eine Bedingte
> Wahrscheinlichkeit, müsste es dann nicht lauten
> [mm]\mathbb{P}[T-n>k | T>n]=\frac{\mathbb{P}[T>n+k \cap T>n]}{\mathbb{P}[T>n]}[/mm]?
tut es ja auch 
Das ist schlichtweg Notationsgeschwurbel: Man schreibt für eine "und" Verknüpfung abkürzend einfach das "Komma".
Ich würde aber gern noch ein bisschen was dazu ausführen, denn:
Deine Notation ist nämlich eigentlich auch nicht korrekt, denn du schreibst:
> [mm] \mathbb{P}[T>n+k \cap [/mm] T>n]
Sowohl T>n+k als auch T>n sind aber Aussagen, d.h. dort gehört eine logische Verknüpfung rein, in dem Fall eigentlich ein [mm] $\wedge$
[/mm]
[mm] $\cap$ [/mm] kann man nur zwischen Mengen verwenden, d.h. es gilt (mal formal sauber aufgeschrieben):
[mm] $\{T > n+k \wedge T > n\} [/mm] = [mm] \{T > n+k\} \cap \{T > n\}$ [/mm] nun kommt aber die "unsaubere" Notation hinzu, dass man in W-Maßen oftmals die Mengenklammer weglässt, wenn nur eine Menge als Argument verwendet wird, wie bspw bei:
$P(T > n+k) = [mm] P(\{T > n+k\})$
[/mm]
Und wenn man das oben anwendet, ist eben:
[mm] $P(\{T > n+k \wedge T > n\}) [/mm] = P(T > n+k [mm] \wedge [/mm] T > n)$
Und wie oben erwähnt schreibt man halt selten mal wirklich ein [mm] "$\wedge$", [/mm] sondern verknüpft gleichzeitig auftretende Bedingungen mit einem Komma, wie auch bei anderen Mengen in der Analysis, z.B. wenn ich nur den ersten Quadranten im [mm] $\IR^2$ [/mm] beschreiben will, schreibe ich ja selten:
[mm] $\{(x,y) \in \IR^2 | x \ge 0 \wedge y \ge 0\}$ [/mm] sondern kürzer [mm] $\{(x,y) \in \IR^2 | x \ge 0, y \ge 0\}$ [/mm] oder wenn klar ist, wo x und y herkommen, dann noch kürzer [mm] $\{x \ge 0, y \ge 0\}$. [/mm] Diese "ganz kurz" Notation verwendet man ja auch oben, weil die ausführliche Notation von bspw [mm] $\{ T > n\}$ [/mm] ja eigentlich wäre [mm] $\{\omega \in \Omega | T(\omega) > n\}$
[/mm]
Auf obiges angewand heißt das, es gilt:
[mm] $P(\{T > n+k,T > n\}) [/mm] = [mm] P(\{T > n+k \wedge T > n\}) [/mm] = P(T > n+k [mm] \wedge [/mm] T > n) = P(T > n+k, T > n) = [mm] P(\{T>n+k\} \cap \wegde \{T>n\}) [/mm] = [mm] P(\{\omega \in \Omega | T(\omega) >n+k \wedge T(\omega) > n\}$
[/mm]
und alles sind valide Notationen für eigentlich den selben Ausdruck....
> Und wie kommt man dann im Zähler auf nur noch [mm]T>n+k[/mm]?
Die Bedingungen sind mit einem "und" verknüpft, d.h. wenn gilt $T > n+k$ und $T > n$, dann ist die Bedingung "$T > n$" redundant, weil wenn $T > n+k$ gilt, gilt $T>n$ trivialerweise. In Mengenschreibweise bedeutet das, dass gilt:
[mm] $\{T > n+k,T > n\} [/mm] = [mm] \{T > n+k\}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 So 12.05.2019 | | Autor: | Juliane03 |
Dankeschön
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