Umformung arctan < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:35 Sa 16.07.2011 | | Autor: | sh4nks |
| Aufgabe | Gesucht ist der Winkel der komplexen Zahl [mm] \bruch{j*a - 1}{j*a + 1} [/mm] .
Dieser Term ist gleich φ(a - 1) -φ(a + 1) = π - 2*arctan (a) |
Allgemein werden ja bei einer Division von komplexen Zahlen die Winkel subtrahiert. Aus Geometrie folgt φ= 2* arctan b . Das geht für b-> 0 gegen π.
Könnte mir jemand die zugrundeliegende Umformungsformel erklären? Gilt arctan φ= π -arctanφ?
Vielen Dank schon mal :)
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> Gesucht ist der Winkel der komplexen Zahl [mm]\bruch{j*a - 1}{j*a + 1}[/mm]
> Dieser Term ist gleich φ(a - 1) -φ(a + 1) = π - 2*arctan (a)
> Könnte mir jemand die zugrundeliegenden Umformungsformeln
> erklären? Das Problem stammt aus einer Altklausur in
> Elektrotechnik I (ich studiere Maschinenbau), und das
> Ergebnis ist ohne weitere Erläuterung angegeben.
Hallo sh4nks,
ich verstehe diese Umformung, so wie sie dasteht,
auch nicht. Insbesondere ist mir nicht klar, welche
Funktion dann mit [mm] \Phi [/mm] gemeint sein soll.
Vermutlich sollte der Zwischenschritt aber so aussehen:
$\ [mm] \Phi(j*a [/mm] - 1)\ -\ [mm] \Phi(j*a [/mm] + 1)$
Dann wird klar: mit [mm] \Phi(z) [/mm] ist der Polarwinkel (das "Argument")
einer komplexen Zahl $\ z$ gemeint. Und es gilt ja:
$\ [mm] arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\ [/mm] =\ [mm] arg(z_1)-arg(z_2)$
[/mm]
Die Argumente von Zähler und Nenner in dem Beispiel
kannst du mit einer einfachen Überlegung mit dem
Tangens bestimmen. (rechtwinklige Dreiecke !)
LG Al-Chw.
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