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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Ricc |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{1}{5-3x}>\bruch{1}{5x+4} [/mm] |
Heute zum 2. mal Hallo!
Ziel der ganze Übung ist die Lösungsmenge der Ungleichung per Fallunterscheidung zu bestimmen.
Diesmal habe ich eine Frage zur Umformung der Gleichung!
Zunächst war meine Idee die Gleichung mit 5-3x zu multiplizieren. Die Bedingungen für die Fallunterscheidung würden dann [mm] \bruch{5}{3}>x [/mm] und [mm] \bruch{5}{3}
Ergebnis der Multiplikation ist dann [mm] \bruch{1}{15x^{2}+13x+20}.. [/mm] Dies ließe sich zwar mit Hilfe der binonischen Formel lösen, aber 1. was würde ich mit den Ergebnissen x1 und x2 anstellen? und 2. sind das ganz schön komische Zahlen de da rauskommen, hab ich das Gefühl! :P
LG und Danke
Riccardo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Mo 22.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\bruch{1}{5-3x}>\bruch{1}{5x+4}[/mm]
> Heute zum 2. mal Hallo!
>
> Ziel der ganze Übung ist die Lösungsmenge der Ungleichung
> per Fallunterscheidung zu bestimmen.
> Diesmal habe ich eine Frage zur Umformung der Gleichung!
> Zunächst war meine Idee die Gleichung mit 5-3x zu
> multiplizieren.
Du meinst die Ungleichung ....
> Die Bedingungen für die Fallunterscheidung
> würden dann [mm]\bruch{5}{3}>x[/mm] und [mm]\bruch{5}{3}
> lauten.(Schon umgeformt)
> Ergebnis der Multiplikation ist dann
> [mm]\bruch{1}{15x^{2}+13x+20}..[/mm]
Wie kommst Du denn darauf ??? Wenn man obige Ungl. mit 5-3x durchmultipliziert, bekommt man
1> [mm] \bruch{5-3x}{5x+4}, [/mm] wenn 5-3x>0 ist
und
1< [mm] \bruch{5-3x}{5x+4}, [/mm] wenn 5-3x<0 ist.
FRED
> Dies ließe sich zwar mit Hilfe
> der binonischen Formel lösen, aber 1. was würde ich mit
> den Ergebnissen x1 und x2 anstellen? und 2. sind das ganz
> schön komische Zahlen de da rauskommen, hab ich das
> Gefühl! :P
>
> LG und Danke
> Riccardo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Ricc |
Oh! Da hast du Recht!!!
und wie löse ich den Bruch dann weiter auf?
LG Riccardo
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Erneut Hallo, untersuche hier vier Fälle
1. Fall:
5-3x>0 und 5x+4>0 du bekommst [mm] -\bruch{4}{5}
ergibt
5x+4>5-3x
2. Fall:
5-3x<0 und 5x+4<0 der Fall hat sich erledigt (überprüfe)
3. Fall:
5-3x<0 und 5x+4>0 du bekommst [mm] x>\bruch{5}{3} [/mm] (überprüfe)
5x+4<5-3x
4. Fall:
5-3x>0 und 5x+4<0 du bekommst [mm] x<-\bruch{4}{5} [/mm] (überprüfe)
5x+4<5-3x
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Ricc |
Also, zunächst kann ich alles nachvollziehen und nachrechnen was du mir geschrieben hast!
Die Lösungsmenge die sich ergibt ist dann doch: x ist Element von R mit [mm] x\not=0 [/mm] .. richtig?
Grüße Riccardo
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Hallo, sofortiges Gegenbeispiel x=2, bedeutet [mm] -1>\bruch{1}{14} [/mm] ergibt falsche Aussage
mache ich mal den 1. Fall ausführlich
5-3x>0 somit [mm] x<\bruch{5}{3}
[/mm]
5x+4>0 somit [mm] -\bruch{4}{5}
du hast also für diesen Fall [mm] -\bruch{4}{5}
[mm] \bruch{1}{5-3x}>\bruch{1}{5x+4}
[/mm]
beide Nenner sind größer Null, du kannst multiplizieren, das Relationszeichen bleibt erhalten
5x+4>5-3x
8x>1
[mm] x>\bruch{1}{8}
[/mm]
du hast oben stehen [mm] -\bruch{4}{5}\bruch{1}{8}
[/mm]
für die Lösungsmenge bekommst du also aus dem 1. Fall [mm] \bruch{1}{8}
mache jetzt mal die anderen Fälle, stelle deine Rechnung hier vor,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Di 23.10.2012 | | Autor: | Ricc |
2.Fall hatte sich ja schon erübrigt
3.Fall
[mm] x>\bruch{5}{3}
[/mm]
5x+4<5-3x
[mm] =x<\bruch{1}{8}
[/mm]
also auch keine Lösung
4. Fall
[mm] x<-\bruch{4}{5}
[/mm]
5x+4<5-3x
[mm] x<\bruch{1}{8}
[/mm]
also: [mm] (-\bruch{4}{5},\bruch{1}{8}) [/mm] sowie aus dem 1. Fall [mm] (\bruch{1}{8},\bruch{5}{3})
[/mm]
richtig?
Grüße und danke für die Geduld mit mir!
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Hallo,
dein 3. Fall ist richtig, beim 4. Fall hast du bei der Lösungsmenge einen Denkfehler begangen: die Lösungsmenge so eines Falles ist immer die Schnittmenge aus Definitionsmenge und ermittelter Lösungsmenge. Das bedeutet, es müssen beide Ungleichungen gelten, diejenige der Fallunterscheidung und die als Lösungsmenge ermittelte. Das ist bei dir nicht der Fall!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Di 23.10.2012 | | Autor: | Ricc |
Hallo,
kannst du mir das irgendwie weiter erläutern? Ich verstehe nicht genau was mein Denkfehler ist. Was meinst du mit der Definitionsmenge und der als Lösungsmenge ermittelte Ungleichung?
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Hallo,
beim 4. Fall gehst du zunächst einmal davon aus, dass
[mm] x<-\bruch{4}{5}
[/mm]
ist. Für diesen Fall erhältst du durch Umformungen, von denen ja ein auf jeden Fall keine Äquivalenzumformung ist, die Ungleichung
[mm] x<\bruch{1}{8}
[/mm]
Daraus ziehst du die falsche Schlussfolgerung, die betreffende Lösungsmenge für den Fall 4 müsse das offene Intervall zwischen diesen beiden Werten sein. Das widerspricht doch aber sofort deiner Grundannahme, nämlich dass x eben kleiner als -4/5 sein soll.
Die richtige Lösungsmenge für den 4. Fall lautet daher schlicht und ergreifend
[mm] L_4=\left(-\infty;-\bruch{4}{5}\right)
[/mm]
bzw. kurz und knapp
[mm] x<-\bruch{4}{5}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Di 23.10.2012 | | Autor: | Ricc |
Alle klar! Ich denke jetzt hab ich´s!
Dankeschön!
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