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Hallo,
ich bin grad in meinem Skript beim Beweis des binomischen Satzes und kann folgende Umformung nicht nachvollziehen:
[mm]\summe_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{k+1} b^{n-k} + \summe_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{k} b^{n+1-k} = a^{n+1} + b^{n+1} + \summe_{k=0}^{n-1} {n \choose k} a^{k+1} b^{n-k} + \summe_{k=0}^{n-1} {n \choose k+1} a^{k+1} b^{n-k}
[/mm]
Also das [mm]a^{n+1}[/mm] zieh ich einfach aus der ersten Summe, aber was da bei der Umformung der zweiten Summe passiert, versteh ich nicht.
(Ich muss dazu sagen, Umformungen von Summen bin ich generell noch nicht so fit.)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Mi 04.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nimm dir mal die Summer erstmal einzeln vor:
Also:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}a^{k+1}b^{n-k}
[/mm]
Nimm da mal den letzten, also den n-ten Summanden heraus
$$ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}a^{k+1}b^{n-k} [/mm] $$
$$ [mm] =\underbrace{\vektor{n\\n}}_{=1}a^{n+1}*\underbrace{b^{n-n}}_{=1}+\summe_{k=0}^{n\red{-1}}\vektor{n\\k}a^{k+1}b^{n-k} [/mm] $$
Beim zweiten Summanden [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k} a^{k} b^{n+1-k} [/mm] wird der erste Summand (k=0) herausgenommen und dann eine Indexverschiebung gemacht.
Also:
$$ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}a^{k}b^{n+1-k} [/mm] $$
$$ [mm] =\summe^{n}_{\red{k=1}}\left[\vektor{n\\k}a^{k}b^{n+1-k}\right]+\underbrace{\vektor{n\\0}a^{0}}_{=1}*b^{(n+1-0)} [/mm] $$
$$ [mm] =b^{n+1}+\green{\summe_{k=0}^{n-1}}\left[\vektor{n\\\green{k-1}}a^{\green{k-1}}b^{n+1-\green{k-1}}\right] [/mm] $$
$$ [mm] =b^{n+1}+\summe^{n-1}_{k=0}\vektor{n\\k-1}a^{k-1}b^{n-k} [/mm] $$
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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Ja danke, das hilft mir sehr. 
Eine Frage hätte ich dazu noch.
Wenn ich also so eine Index-Verschiebung um meinetwegen -1 mache, dann heißt das also bloß, dass die Grenzen um eins heruntersetze und statt dem Laufindex k ein k-1 einsetze?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Mi 04.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ja danke, das hilft mir sehr.
Sehr gut
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> Eine Frage hätte ich dazu noch.
> Wenn ich also so eine Index-Verschiebung um meinetwegen -1
> mache, dann heißt das also bloß, dass die Grenzen um eins
> heruntersetze und statt dem Laufindex k ein k-1 einsetze?
Exakt so ist es gemeint
Marius
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